Question

1) Demonstrati ca nu exista numere naturale x , astfel incat : 5x + 1024= abcd7 (cu bara deasupra) . 

2) Demonstrati ca nu există numere naturale x , astfel incat : 7x ( la puterea a 2a ) + 7x + 5y = 2013

Answer 1

1)5x  este un multiplu de 5 ce are ultima cifra 0 sau 5. Un numar ce are ultima cifra 0 sau 5 daca il adunam cu 1024 va da un rezultat ce are ultima cifra 4 sau 9. Cum $\overline{abcd7}$ are ultima cifra 7 deducem ca nu exista numere naturale pentru a avea acea egaliate.
2)[tex]7x^2+7x+5y=2013=>7x(x+1)+5y=2013\\ 5y=2013-7x(x+1)\\ [/tex]
$y=\frac{2013-7x(x+1)}{5}=\frac{2015-2-7x(x+1)}{5}=403-\frac{2+7x(x+1)}{5}$
A doua fractie trebuie sa fie numar natural dar acest lucru nu este posibil deoarece produsul a doua numere naturale consecutive este mereu par si se poate termina doar in 0,2,4,6 sau 8.Un astfel de numar inmultit cu 7 se termina in 0,4,8,2,sau 6. Acest numar la randul lui adunat cu 2 se termina in 2,6,0,4 sau 8.Deoarece numaratorul 2+7x(x+1) trebuie sa fie divizibilcu 5 deducem ca produsul x(x+1) ar trebui sa se termine in 4. Dar stim ca produsul a doua numere naturale consecutive nu se termina in 4. In concluzie, nu exista numere naturale cu proprietatea data.