Question

1)Demonstrati ca numarul:
A=2+2 la puterea a2-a + 2 la puterea a3-a+...........+ 2 la puterea 2006 este divizibil cu 3
2) Determinări numarul de forma: a) a51b divizibil cu 12 b) a5a divizibil cu 9
c) a21b divizibil cu 15

Answer 1

1.  a = 2+2²+2³+..........+2²⁰⁰⁶ = 2[(1+2) +2²(1+2)+.......+2²⁰⁰⁴(1+2)] =
= 2ₓ3(1+2²+.......+2²⁰⁰⁴) = divizibil cu 3
2. a)  a51b divizibil cu 12 ⇔ a51b divizibil cu 4 si cu 3
a51b divizibil cu 4 ⇒ b ∈ {2,6}
a512 divizibil cu 3 ⇒ a ∈ {1,4,7} ⇒ numere: 1512,4512, 7512
a516 divizibil cu 3 ⇒ a ∈ {3,6,9} ⇒ numere: 3516, 6516, 9516
b)  a5a divizibil cu 9 ⇔⇔(2a +5) = divizibil cu 9 ⇒⇒2a = 14  a = 7  (757)
c) a21b divizibil cu 15 ⇔⇔ a21b divizibil cu 5 si cu 3
⇒⇒ b ∈ {0,5}   
b = 0  a ∈ {3,6,9}  ⇒⇒ nr. : 3210, 6210, 9210
b= 5  a ∈{1,4,7} ⇒⇒ nr. : 1215, 4215, 7215