Question

1. Demonstrati ca numarul a= 7^{1} + 7^{2} + 7^{3} +...+ 7^{24} este multiplu de 8.
2. Determinati multimea A= {x ∈ N | \frac{2x+3}{3} \leq \frac{x+6}{2} }.
3. Fie numerele a= 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{2013} si b = 1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{2013} . Comparati numerele: (a+1)^{3} si (2b+1)^{2} .
4. Fie numerele: a= \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{2012}{2013} si b= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2013} . Calculati media aritmetica a numerelor a si b .
Va rog sa ma ajutati! Dau coroana!

Answer 1

1) a = 7+7²+7³ + 7⁴+ ... +7²³+ 7²⁴ = 7(1+7) +7³(1+7)+ ... +7²³(1+7)=

= 7·8+7³·8+ ... +7²³·8 = 8( 7+7³+ ... +7²³) ∈ M₈

2) (2x+3)/3 ≤ (x+6)/2 ⇔ 2(2x+3) ≤ 3(x+6) ⇔ 4x+6 ≤ 3x+18 ⇔

⇔ 4x-3x ≤ 18 - 6 ⇔ x ≤ 12,   x∈ {0,  1,  2,  3, ... 12}