Question

1)Demonstrati ca numarul (n+3)(n+6) este divizibil cu 2, pentru orice n apartine de N.
2)Fie n apartine de N, astfel incat 13n+8 da restul 13 la impartirea cu 80, iar 8n+5 da restul 5 la impartirea cu 50. Determinati ultimele doua cifre ale lui n.

Answer 1

1. n+3-numar impar sau par ,n∈N;
n+6-numar impar sau par ,n∈N;
⇒numar impar·numar par=numar par;
⇒numar par·numar impar=numar impar;
⇒[n+3]·[n+6]⇒numar par;
⇒este divizibil cu 2; pentru orice n∈N;
2. 13n+8=80c+13;
⇒8n+5=50c+5;
⇒5n+3=30c+8;
⇒n-numar natural de minim trei cifre;
⇒5·121+3=605+3=608;
⇒30c+8=608⇒30c=600⇒c=20;
⇒121-numar de trei cifre;
⇒n=121;⇒ultimele doua cifre ale luin sunt 2 si 1;

Answer 2

proprietate : pentru orice n ∈ N ( par sau impar ) 
                         ⇒ avem produs de 2 numere consecutive se divide cu 2 
( n + 3 ) · [ ( n +1 )  + 5 ] = n · ( n +1) + 3·( n+ 1 )  + 5·n +   3 · 5 = 
= n · ( n +1)     + 5· n + 3·n  + 3 +  15 = 
= n · ( n +1 )   + 8· n + 18  este divizibil cu 2  ,  n ∈ N 
         ↓               ↓        ↓         numere pare 

2 .               n  ∈ N 
                   13 n + 8 = 80 · c₁ + 13                      c₁ , c₂  =  caturi 
                   8n +  5 = 50 · c ₂ + 5    ⇒   8n = 50  · c ₂
                                                            8  si 50 sunt numere prime 
⇒       c₂ = 8          si  n  =50  ⇒ cel mai mic  numar 
n =50