Question

1) Demonstrati ca oricum alegem 4 numere naturale,exista doua pentru care diferenta patratelor lor este divizibila cu 5.
2)Demonstrati ca nu exista numere naturale a,b astfel incat :
a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+a^6+b^6=2009
Repede ,va rooog!!!DAU COROANA!!!

Answer 1

orice numar natural poate avea doar una din formele:
n0=5k
n1=5m+1
n2=5p+2 ⇒ n2^2=25p^2+20p+4
n3=5j+3 ⇒ n3^2=25j^2+30j+9
n4=5r+4

in aceste variante exista doua a caror diferenta e multiplu de 5
n3^2-n2^2=5(5j^2+6j-5p^2-4p)+5=5M unde
M=5j^2+6j-5p^2-4p+1,   j si p sunt naturale

2)
mai intai recapitulam unele reguli elementare: p=par, i=impar
p+p=p
p+i=i
i+i=p
i^k= i, k∈N*
p^k=p

si acum sa presupunem a=p si b=p
p+p+p+p+p+p+p+p=p nu merge pentru ca 2009 e impar

presupunem a=p si b=i
p+i+p+i+p+i+p+i=p nu merge din acelasi motiv
prin urmare nu exista a,b∈N care sa satisfaca relatia din enunt
obs: varianta a=i cu b=p este identica cu ultima varianta discutata deoarece inlocuind in expresia din enunt pe a cu b nu se schimba nimic