Question

1.Demonstrati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte
a)111 111 111 111
b)987 654

2.
a)Demonstrati ca numarul A=$63^{n} + 7^{n+1} * 3^{2n+1}-21^{n} * 3^{n+2}$ este divizibil cu 13 .
b)Demonstrati ca numarul B=$35^{n} + 7^{n} * 5^{n+2} +3* 7^{n+1} * 5^{n}$ este divizibil cu 47 .
c)Aratati ca numarul A=$7* 12^{n} * 3^{n+1} +6* 4^{n+1} * 9^{n+2} + 18^{n+1} * 2^{n+1}$ este divizibil cu 2001 , orcare ar fi "n" aprtine N*

3.
a)Aratati ca oricare ar fi numerele naturale pentru care 2x-3y=4 , numarul (x-2)(y+2) este divizibil cu 6 .
b)Determinati numerele naturale x si y stiind ca $x^{2} *(y+3) = 864$ .
c)Daca 5a (bara deasupra) + 7b (bara deasupra) este divizibil cu 2 , atunci determinati numarul numerelor de forma ab (bara deasupra).

Answer 1

111 111 111 111 = 3*7*11*13*37*101*9901
987 654 = 2*3*97*1697
se observa ca nu sunt patrate perfecte


63^n+7^(n+1) * 3^(2n+1)-21^n * 3^(n+2)=
=3^2n * 7^n+7^(n+1) * 3^(2n+1)-3^n*7^n * 3^(n+2)=
=3^2n * 7^n+7^(n+1) * 3^(2n+1) - 7^n * 3^(2n+2)=
=3^2n * 7^n(1+7 * 3 -  3²)=
=3^2n * 7^n(1+21 - 9)=
=3^2n * 7^n * 13  deci divizibil cu 13

35^n+7^n * 5^(n+2)+ 3 *7^(n+1) *5^n=
=5^n * 7^n +7^n * 5^(n+2)+ 3 *7^(n+1) *5^n=
=5^n * 7^n (1 + 5²+ 3 *7)=
=5^n * 7^n *47  deci divizibil cu 47

7*12^n *3^(n+1)+6*4^(n+1)*9^(n+2)+18^(n+1)*2^(n+1)=
=7*2^2n *3^(2n+1)+6*2^(2n+2)*3^(2n+4)+2^(n+1)*3^(2n+2)*2^(n+1)=
=7*2^2n *3^(2n+1)+2^(2n+3)*3^(2n+5)+2^(2n+2)*3^(2n+2)=
=2^2n *3^2n *(7*3+2³ *3⁵+2²*3²)=
=2^2n *3^2n *(21+8 *243+4*9)=
=2^2n *3^2n *(21+1944+36)=
=2^2n *3^2n *2001 deci divizibil cu 2001



x²(y+3)=864
864=2⁵ x 3³
solutia1
x²=2² =4
y+3=864/4=216
y=213
solutia 2
x²=2⁴=16
y+3=864/16=54
y=51
solutia 3
x²=2² × 3²=4*9=36
y+3=864/36=24
y=21
solutia 4
x²=2⁴ × 3²=16*9=144
y+3=864/144=6
y=3