Question

1) Demonstrati: suma a trei nr naturale consecutive este multiplu de 3
2) Aratati: suma a trei nr naturale pare consecutive este divizibila cu 6
3) Aratati ca pt oricare trei nr naturale consecutive fel putin unul este divizibil cu 2 si cel puțin unul divizibil cu 3
4) Demonstrati ca produsul a trei nr naturale consecutive este un multiplu de 6
5) Demonstrati că produsul a cinci nr naturale consecutive este multiplu de 60

Answer 1

1)Fie trei numere naturale consective: a, a+1+a+2
a+a+1+a+2= 3a +3= 3(a+1), deci oricare ar fi a numărul este multiplu de 3
2) Numerele sunt b, b+2, b+4
Știm că sunt pare, deci b= 2k, numerele devin 2k, 2k+2, 2k+4
Suma este 2k +2k+2+2k+4= 6k+6= 6(k+1), deci oricare ar fi b,k numerele naturale, b par conditia este satisfăcută.
3)Fie 3 numere consecutive oarecare. Există trei resturi posibile la împărțirea la 3 și anume: 0,1,2. Unul din cele 3 are restul 0 și e divizibili cu 3.
Din 3 numere consecutive, obligatoriu unul sau două sunt pare, deoarece numerele se succed în ordine: par,impar,par sau impar, par, impar. Orice număr par îl divide pe 2, deci din 3 numere consecutive, cu siguranță cel puțin unul îl divide pe 2 și altul îl divide 3.
4)Am demonstrat la 3 că în 3 numere consecutive găsim unul divizibil cu 3, și altul divizibil cu 2. Deci produsul lor va fi, cu siguranță multiplu de 6.
5) Dacă extindem la 5 numere consecutive vom găsi cel puțin două numere pare (deci produsul e divizbil cu 4) și un număr divizibil cu 3, deci cu siguranță 4x3=12 este divizor al numărului. Însă în mod obligatoriu, în 5 numere consecutive, unul îl divide pe 5, deci 12 x5= 60 este divizor al unui produs a 5 numere consecutive.

Answer 2

1)
Notam numerele cu : x, x+1 , x+2
S = x + (x+1) + (x +2 ) = 3x +3 = 3( x+1 ) - mutiplu de 3
2)
Notam numerele cu : 2k , 2k +2 , 2k + 4
S = 2k + (2k+2) + (2k +4 ) = 6k + 6 = 6 ( k + 1 ) - divizibil cu 6
3)
Notam numerele cu : 2k -1 , 2k , 2k +1
2k este divizibil cu 2 .
2k -1 , 2k sau 2k + 1 este divizibil cu 3 deoarece numerele divizibile cu 3 se afla in sirul numerelor naturale, la distanta de 3 numere . Prin urmare, unul din aceste numere este divizibil cu 3 .
4)
Cum am demonstrat si la punctul 3 , unul este divizibil cu 2 si cel putin unul este divizibil cu 3 . => 2*3 = 6 => produsul va fi multiplu de 6
5)
Ca si la punctul 4 => produsul este multiplu de 6 (1)
Notam numerele : 5k , 5k+1 , 5k+2 , 5k +3 , 5k+4 => Unul va fi multiplu de 5 . (2)
Din (1) si (2) = produsul va fi multiplu de 60 .
In aceste 5 numere consecutive se vor gasi cel putin 2 multiple de 2 (3)
Din (1) , (2) , (3) => produsul va fi multiplu de 60