Question

1. Demonstrează că numărul a= 6^5 - 5^5 + 4^5 este divizibil cu 5.
2. Demonstrează că numărul N= 2^n x 5^n+1 + 2^n+1 x 5^n +2^n+1 x 5^n+1 este divizibil cu 170.
3. Arată că (2n + 5, 3n + 7) = 1
4. Determină numerele naturale a, b, dacă (a,b) = 8 (nu prea înțeleg aici, cred că vor să spună c.m.m.d.c al lui a și b), și a x b = 768

Answer 1

1)  a = 6^5 - 5^5 + 4^5
Ultima cifra (6^5) = 6
Uc(5^5) = 5
Uc(4^5) = 4 ⇒ Uc(a) = Uc(6 - 5 +4 ) = 5 ⇒ a divizibil cu 5
2)  N = 5·10^n + 2·10^n + 10^(n+1) = 10^n ·(5 + 2 + 10) = 170·10^(n-1) =
= divizibil cu 170
3)  trebuie sa aratam ca fractia (2n+5) / (3n + 7) este ireductibila
--  daca d divide (2n+5) ⇒  d divide 3( 2n+5) = 6n + 15      (1)
-- daca d divide (3n +7) ⇒ d divide 2(3n+7) = 6n + 14        (2) ⇒
⇒ d divide [(1) - (2)] = 1 adica, (2n+5, 3n+7) = 1
4)  a = 8 x    b = 8y      a·b = 768 ⇒ 8x·8y = 768  x·y = 12
x ∈ { 1, 2,3,4,6,12}    y∈∈{12,6,4,3,2,1}
(a= 8 ; b = 96) , (a = 16, b = 48), (a = 24, b = 32), (a = 32, b = 24)....