Question

1) Desenati piramida patrulatera VABCD cu baza patratului ABCD de centrul O si muchiile laterale congruente. Fie M mijlocul segmentului [BC].
a) Aratati ca VO⊥(ABC)
b) Daca AB=10 cm si VO=12 cm, calculati VM
c) Daca OP⊥ VM, P∈VM, calculati OP
d) Demonstrati ca OP⊥(VBC)

2) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC=30 cm si BC=36 cm si D mijlocul laturii [BC]. In punctul A se ridica perpendiculara AM=10 cm pe planul (ABC).
a) Calculati lungimile MB si MD
b) Fie [AE si [AF bisectoarele unghiurilor MAB si MAC, E∈[MB], F∈ [MC]. Aratati ca EF║(ABC)
c) Calculati lungimea segmentului [EF]

DAU COROANA!!

Answer 1

1)
VA=VC ⇒ tr. VAC este isoscel, VO este mediana si inaltime
VO⊥AC (1)
VD=VB ⇒ tr. VBD este isoscel, VO este mediana si inaltime
VO⊥BD (2)
din (1) si (2) rezulta VO⊥(ABCD) ⇔ VO⊥(ABC)
b)
OM=AB/2=5 cm, cu pitagora in VOM calculam VM
VM=√(VO^2+OM^2)=√(12^2+25)
VM=13 cm
c)
scriem aria tr. VOM in doua moduri:
VOxOM=VMxOP , n-am mai pus  2 la numitor
OP=VOxOM/VM=60/13 cm
c)
cu reciproca 2 la T3P. daca n-ai facut-o atunci nu  stiu alta solutie.
OP⊥VM
VM⊥BC
OM⊥BC rezulta OP⊥(VBC)

2.
a)
MB=√(AM^2+AB^2)=√1000=10√10 cm
AD=√(AB^2-BD^2)=√576=24 cm (AD este mediana si inaltime)
MD=√(AM^2+AD^2)=26 cm
b)
cu teorema bisectoarei
AB/AM=BE/EM=AC/AM=CF/FM ⇔ BE/EM=CF/FM ⇒ reciproca thales ⇒ EF║BC
BC⊂(ABC) ⇒ EF║(ABC)
c)
BE/EM=3 ⇒ (BE+EM)/EM=4 ⇒ 10√10=4EM
EM=5√10/2 cm
cu TFA in MBC
EF/BC=EM/MB
EF/36=(5√10/2)/10√10
EF=9 cm