Question

1.Determinati cea mai mica si cea mai mare fractie de forma: 7x1y supra 21ab care se simplifica cu 15.
                                                                                    2.  2a3b supra 5x4y care se simplifica cu 18.

Answer 1

1.
$\frac{7x1y}{21ab}$

daca se simplifica cu 15, trebuie sa fie divizibila cu 3 si 5

deci 7+x+1+y=8+x+y
y poate fi:
 y=0 => x=1 , 4 sau 7
y=5 => x= 2, 5 sau 8

2+1+a+b=3+a+b
 b=0 => a=0 , 3, 6 sau 9
b=5 => a= 1, 4 sau 7

Cea mai mica fractie este (numarator mic/numitor mare): $\frac{7110}{2175}$

Cea mai mare fracie este (numarator mare/ numitor mic): $\frac{7815}{2100}$

2.  $\frac{2a3b}{5x4y}$

daca se simplifica cu 18, atunci trebuie sa fie divizibila cu 9 si cu 2

2+a+3+b=5+a+b
b=0 => a=4
b=2 => a=2
b=4 => a=0 sau 9
b=6 => a=7
b=8 => a=5

5+x+4+y =9+x+y
y=0 => x=0 sau 9
y=2 => x=7
y=4 => x=5
y=6 => x=3
y=8 => x=1

Cea mai mica fractie este (numarator mic/numitor mare): $\frac{2430}{5148}$

Cea mai mare fracie este (numarator mare/ numitor mic): $\frac{2538}{5040}$

Answer 2

1. 7x1y/21ab
daca se simplifica cu 15 inseamna ca se simplifica cu 3 si cu 5⇒
ultima cifra poate fi 0 sau 5 (pentru a se simplifica cu 5) si numaratorul si numitorul au suma cifrelor divizibila cu 3 (pentru a se simplifica cu 3)
7x1y/21ab divizibil cu 15 ⇒ urmatoarele cazuri
a) pentru cea mai mica fractie trebuie sa avem numitorul maxim si numaratorul minim
21ab maxim ⇒ b=0 si a=9 adica 21ab=2190
7x1y minim ⇒ y=0 si x=1 adica 7x1y=7110
verificare: valoarea minima a fractiei este 7110/2190=474/146 
b) pentru cea mai mare valoare trebuie ca numaratorul sa fie maxim si numitorul minim
7x1y maxim ⇒ y=0 , x=7 sau y=5, x=2 (este corecta prima varianta) 
7x1y maxim =7710
21ab minim ⇒ b=0 si a=0 sau b=5 si a=1 (este corecta prima varianta)
21ab minim=2100
verificare: valoarea maxima a fractiei este 7710/2100=514/140

2.2a3b/5x4y
daca se simplifica cu 18 ⇒ numaratorul si numitorul divizibile cu 2 si cu 9 
 
2a3b/5x4y minim ⇒ 2a3b minim si 5x4y maxim si ambele divizibile cu 2 si cu 9 rezulta ca ultima cifra a numaratorului si numitorului este para si suma cifrelor divizibila cu 9
2a3b minim ⇒ 5+a+b divizibil cu 9  si a= minim posibil ⇒  a=0 si b=4
5x4y maxim ⇒ 9+x+y divizibil cu 9 si x=maxim posibil ⇒ x=9 si y=0
⇒valoarea minima a fractiei este 2034/5940=113/330

2a3b/5x4y maxim ⇒ 2a3b maxim si 5x4y minim
2a3b maxim ⇒ 5+a+b divizibil cu 9 si a=maxim posibil ⇒ a=9 si b=4
5x4y minim ⇒ 9+x+y divizibil cu 9 si a=minim posibil  ⇒ x=0 si y=0
valoarea maxima a fractiei este 2934/5040=163/280