Question

1. Determinaţi cel mai mic număr natural care are suma cifrelor 2013.

2. a) Arătaţi că ultima cifră a produsului x (x+1) poate fi doar 0,2 sau 6, pentru orice număr natural x.

b) Demonstraţi că nu există numere naturale x, astfel încât:
5x+1024 = abcd7 (linie sus).

Answer 1

1)
Pentru a determina cel mai mic numar cu proprietatile din enunt trebuie sa cautam printre varaiantele cu cat mai putine cifre, adica printre variantele pentru care 2013 se scrie ca o suma de cati mai putin termeni naturali cuprinsi intre 0 si 9. Acest minim se obtine atunci cand avem cati mai multi de 9 posibili. Numarul maxim de 9 posibili este dat de catul impartirii 2013/9=223 2013=223*9+6 si deci numarul cautat este 699....9 unde avem o cifra de 6 si 227 cifre de 9
2)
a)
x(x+1) este produsul a 2 numere consecutive;
0*1=0
1*2=2
2*3=6
3*4=12
4*5=20
5*6=30
6*7=42
7*8=56
8*9=72
deci produsul a oricaror 2 numere consecutive va avea ultima cifra 0,2 sau 6
b)
5x este ul multiplu de 5 ce are ultima cifra 0 sa 5.
(Criteriul de divizibilitate cu 5:
Un număr natural este divizibil cu 5 dacă ultima cifră a sa este 0 sau 5).
Un numar ce are ultima cifra 0 sau 5 daca il adunam cu 1024 va da un rezultat ce are ultima cifra 4 sau 9. Cum abcd7(cu linie deasupra) are ultima cifra 7  deducem ca nu exista numere naturale pentru a avea acea egaliate.