Question

1)Determinati cele mai mari sase nr de forma 2a6b divizibile cu1)Determinati cele mai mari sase nr de forma 2a6b divizibile cu 3
2)Aratati ca nr B=5 la puterea 2013 - 3 la puterea 2013 este divizibil cu 2
3)Aratati ca nr C=6 la puterea 2013-3 la puterea 2012 este divizibil cu 5
4)Determinati nr prime a si b stiind ca 3a+16b=54
5)Determinati nr prime a si b stiind ca 7a+16b=94
6)Determinati nr prime a,b si c stiind ca 2a+5b+6c=74
7)Determinati cel mai mare divizor comun al nr 240 si 150
8)Determinati cel mai mic multiplu comun al nr 240 si 150
9)Determinati cel mai mic nr naturalcare impartit pe rand la 24,48 si 40 da de fiecare data restul17 si caturi nenule
10)Determinati cel mai mic nr natural care impartit pe rand la 12,15 si 27 da de fiecare data restul3 si caturi nenule

Answer 1

1)
2a6b  
2+ 6 = 8  
Pentru a fi divizibil cu 3 mai trebuie sa adaugam 1
8 + 1 = 9
=> 2061 dar asta e cel mai mic si avem nevoie de cel mai mare.
Daca am rezolvat problema cu divizibilitatea, trebuie doar sa adaugam cifre multiplu de 3.
Pe pozitia lui a adaugam un 9 => 0 + 9 = 9
Pe pozitia lui b, adaugam un 6   => 1 + 6 = 7
Mai mult de atat nu se poate.
=>  2967  cu a = 9 si b = 7 este cel mai mare numar posibil.
Numerele sunt: 2967; 2964; 2961; 2667; 2664; 2661 

2)
Asta e problema pe care o putem rezolva calculand ultima cifra.
Dar cred ca scapam mai ieftin.
5 este numar impar, si un numar impar ridicat la orice putere, tot impar ramane
3 este in aceeasi situatie ca 5, e tot impar la orice putere.
Suma sau diferenta a doua numere impare, are ca rezultat un numar par.
Adica divizibil cu 2
cctd

3)
Aici va trebui sa folosim "ultima cifra".
6^2013 - 3^2012
Uc(6 la orice putere) = 6
Uc(3^2012) = Uc [3^(4 * 503)] = Uc [(3^4)^503] = Uc(81^503) = 1
6 - 1 = 5 
=> numarul C este divizibil cu 5

4)
3a + 16b = 54
16b este numar par
54 este numar par
=> 3b trebuie sa fie numar par dar 3 este impar iar a este numar prim.
Avem nevoie ca a sa fie numar par dar si prim.
Singurul numar prim si par este 2
=> a = 2
3 * 2 + 16b = 54
b = (54 - 3*2) / 16 = 48 / 16 = 3
=> 3 * 2 + 16 * 3 = 54
=> a = 2 si b = 3

5)
7a + 16b = 94
Din acelasi rationament ca la ex. 4, 7a trebuie sa fie par.
=> a = 2
7 * 2 + 16b = 94
b = (94 - 7 * 2) / 16 = 80 / 16 = 5
=> 7 * 2 + 16 * 5 = 94
=> a = 2 si b = 5

6)
2a + 5b + 6c = 74
2a, 6c si 74 sunt pare
=> 5b trebuie sa fie par
=> b = 2
Alegem pentru c cel mai mare numar prim ca sa ramana pentru a mai putin pentru a nu risca ca a sa nu fie prim.
=> c = 7
a = (74 - 5 * 2 - 6 * 7) / 2 = (74 - 52) / 2 = 22 / 2 = 11
=> 2 * 11 + 5 * 2 + 6 * 7 = 74
=>  a = 11,   b = 2  si  c = 7

7)
240 = 2^4 * 3 * 5 
150 = 2 * 3 * 5²
cmmdc = 2 * 3 * 5 = 30

8)
240 = 2^4 * 3 * 5
150 = 2 * 3 * 5²
cmmmc = 2^4 * 3 * 5² = 1200

9)
Numarul cautat este cmmmc (24, 48, 40) + 17
24 = 2³ * 3
48 = 2^4 * 3
40 = 2³ * 5
cmmmc + 17 = 2^4 * 3 * 5 + 17 = 240 + 17 = 257

10)
Numarul cautat este: cmmmc (12, 15, 27) + 3
12 = 2² * 3
15 = 3 * 5
27 = 3³
cmmmc + 3 = 2² * 3³ * 5 + 3 = 540 + 3 = 543