Question

1 Determinati cifrelor a,b,c,d, stiind ca abcd cu linie deasura este egal cu =abc cu linie deasupra +2009
2 Se considera numarul A=101001000100001.... .
A Daca cifra 1apare scrisa de 2005ori in A,iar ultima cifra a lui A este 1 ,de cate ori apare cifra 0?
B. De cate ori apare cifra 0in scrierea numarului A, daca are 2005cifre?

Answer 1

1.  10·abc + d = abc + 2009    9abc = 2009 - d  ⇒ deoarece 9 | (2009 - d)  d = 2
abc = 2007÷9 = 223    a = 2  b = 2  c = 3
2.  dupa prima cifra 1          urmeaza  1 cifra 0
dupa a doua  cifra   1           " " "" " "   2  " " " 0
" " " " " a 3-a "  ""  " " "         " " " " " "  3 " " " " " ⇒101001000 (3cifre1 si 1+2+3 zerouri)
" " " " " " n-a" " "" " "" 1          " " " "1+2+3+...+n = n(n+1) /2  cifre 0           
" " " ""  a 2004-a " " " "         " " " 1+ 2+ 3+ .......+2004 = 2004·2005/2 = 2009010 ori
b) 2005 = n cifre 1 + n(n+1)/2 cifre 0 - x
2005 + x = n+ (n² +n)/2     2005 + x = n(n+3)/2    n(n+3) = 4010 + 2x
constatand ca   62·65 = 4030  ⇒ 2x = 20    x = 10  ⇒ n = 62  ⇒
⇒ nr. zerouri  = 62·63/2  - 10 = 1943     1943 + 62 = 2005