Question

1)Determinati numarul natural n pentru care :
 a) 14<2 la puterea n <129
 b)3 la puterea n+1<57<3 la puterea n+2
 c)7 la puterea n-1≤343
2)Comparati numerele :
 a)8 la puterea 17 cu 16 la puterea 12
b)27 la puterea 13 cu 9 la puterea 20
c) 3 la puterea 27 cu 9 la puterea 13
d)2 la puterea51 cu 3 la puterea 34 
e)4 la puterea115 cu 5 la puterea 92
3)Aratati ca urmatoarele numere sunt patrate perfecte :
a) 32*93 -32*85=
b)  2 la puterea 83 -4 la puterea 41=
c)11 * ( 5 la puterea 21 -5 la puterea 20 -5 la puterea 18=

Answer 1

a) 14<2^n <129
2⁴=16; 2⁷=128
Deci n∈{4,5,6,7}

 b)3^(n+1)<57<3 ^(n+2)
3⁴=81>57 => n=2 , verificam : 3²⁺¹=3³=27<57, deci e ok.

 c)7 ^(n-1)≤343
7³=343 => n=4

2)
 a)8¹⁷> 16¹² pentru ca:
8¹⁷=2³*¹⁷=2⁵¹
16¹²=2⁴*¹²=2⁴⁸

b)27¹³ < 9 ²⁰ pentru ca:
27¹³=3³*¹³=3³⁹
9²⁰=3²*²⁰=3⁴⁰

c) 3²⁷ > 9 ¹³ pentru ca
9¹³=3²*¹³=3²⁶

d)2 ⁵¹ < 3 ³⁴ pentru ca 8¹⁷< 9¹⁷
2⁵¹=2³*¹⁷=8¹⁷
3³⁴=3²*¹⁷=9¹⁷

e)4 ¹¹⁵> 5⁹² pentru ca 1024²³>625²³
4¹¹⁵ =4⁵*²³=1024²³
5⁹²=5⁴*²³=625²³

3) patrate perfecte :

a) 32*93 -32*85= 32(93-85)=32*8=8*4*8=8*2*8*2=16*16=16²

b)  2⁸³ -4 ⁴¹= 2⁸³-2²*⁴¹=2⁸³-2⁸²=2⁸²(2-1)=2⁸²=(2⁴¹)²