Question

1. Determinați numarul natural n, știind că:

a) 5 la puterea 1+2+3+....+2014= 5 la puterea n+1007

b) 7 la puterea 2+4+6+....+100=7 la puterea n (n+1)

 

2. Să se afle ultimele 2014 cifre ale numarului 7000 la puterea 671

 

3. Aflați ultima cifră a nr. a= 2 la puterea 2013 × 5 la puterea 2014 + 7 la puterea 5

 

4. Arătați ca numărul 25 la puterea 2013 este pătrat perfect. 

 

5. Scrieți mulțimea divizorilor proprii ai nr.:

a) 7;

b) 13;

c) 24;

d) 5 la puterea 3

e) 4 la puterea 2

f) 30

g) 36

h) 96

 

6. Scrieți mulțimea divizorilor improprii ai numerelor:

a) 11

b) 17

c) 25

d) 7 la puterea 2

e) 42

f)  51

g)  2014

h) 2015

 

7. Scrieți numerele naturale cel mult egal cu 130, care au exact opt divizori.

 

8. Determinați numarul natural n, știind că :

a) n+4 este divizor al nr. 18

b) 18 supra n+2 apartine numerelor naturale. 

 

9. Suma a două numere naturale prime este 15. Aflați cele doua numere. 

 

10. Fie nr. a= n la puterea 2 - n + 19. Aflați cea mai mica valoare a lui n, număr natural , pentru care a nu este număr prim.

Answer 1

1. Determinați numarul natural n, știind că:
 a) 5 la puterea 1+2+3+....+2014= 5 la puterea n+1007
1+2+3+...+2014=2014*(2014+1):2=1007*2015
n+1007=1007*2015
n=1007*2015-1007=1007(2015-1)=1007*2014=2028098

 b) 7 la puterea 2+4+6+....+100=7 la puterea n (n+1)
2+4+6+100=(100+2)[(100-2):2+1]:2=102*50:2=102*25=2550
n(n+1)=2550 n=50
___________________________________
   2. Să se afle ultimele 2014 cifre ale numarului 7000⁶⁷¹

numarul de 0-uri la 671, inseamna 671*3=2013 zerouri
7⁶⁷¹
puterile lui 7 au ultima cifra in seturi de 4: 7,9,3,1
deci 671:4= 167 rest 3
Deci ultima cifra este  3

=> ultimile 2014 cifre ale lui 7000⁶⁷¹ sunt: 3 urmat de 0 de 2013 ori
____________________________________
 3. Aflați ultima cifră a nr. a=2²⁰¹³* 5²⁰¹⁴+ 7⁵

2²⁰¹³- are ultima cifra 2, pentru ca
puterile lui 2 au ultima cifra- seturi de cate : 2,4,8,6
2013:4=503 rest 1

5²⁰¹⁴- are ultima cifra 5, pentru ca
puterile lui 5 au ultima cifra 5

=>ultima cifra a lui  2*5 este 0

7⁵ - are ultima cifra 7, pentru ca :
puterile lui 7 au ultima cifra -seturi de cate 4: 7,9,3,1
5:4=1 rest 1
putem calcula 7⁵=16807

deci  , ultima cifra a lui a este 0+7=7
___________________________________
 4. Arătați ca numărul 25²⁰¹³ este pătrat perfect.

25²⁰¹³ = 5²*²⁰¹³ = ( 5²⁰¹³)² - este patrat perfect
_____________________________________ 
5. Scrieți mulțimea divizorilor proprii ai nr.: a) 7; b) 13; c) 24; d) 5³ e) 4² f) 30 g) 36 h) 96 

7=numar prim, deci divizorii proprii=Ф
13=numar prim, deci divizorii proprii=Ф
24=2,3,4,6,8,12
5³=125=5,25
4²=16=2,4,8
30=2,3,5,6,10,15
36=2,3,6,12,13
96= 2,3,4,6,12,16,24,32,48
______________________________________
 6. Scrieți mulțimea divizorilor improprii ai numerelor: a) 11 b) 17 c) 25 d) 7 la puterea 2 e) 42 f)  51 g)  2014 h) 2015  

11=1,11
17=1,17
25=1,25
49=1,49
42=1,42
51=1,51
2014=1,2014
2015=1,2015
_____________________________________
7. Scrieți numerele naturale cel mult egale cu 130, care au exact opt divizori.

8=2*2*2 sau 2*4 sau 4*2
Asadar: n+1=2 => n=1
sau n+1=4 => n=3
deci puterile pot fi :
 a¹*b¹*c¹ ,   sau  a¹*b³ , sau a³*b¹
cei mai mici a,b,c sunt 2,3,5,7,11,13,17,19,23...
adica:
 
2*3*5=30=1,2,3,5,6,10,30
2*3*7=42=1,2,3,6,7,14,21,42
2*3*11=66= 1,2,3,6,11,22,33,66
2*3*17=102=1,2,3,6,17,34,51,102
2*3*19=114=1,2,3,6,19,38,57,114
2*3*23=nu=138>130

2*5*7=70=1,2,5,7,10,14,35,70
2*5*11=110=1,2,5,10,11,22,55,110
2*5*13=130=1,2,5,10,13,26,65,130
2*5*17=170>130=nu
2*7*11=154>130=nu
2*11*13=286>130=nu

3*5*7=105=1,3,5,7,15,21,35,105
3*5*11=165>130=nu
3*7*11=231>130=nu
5*7*11=285>130=nu

2*3³=2*27=54=1,2,3,6,9,18,27,54
2*5³=2*125=250>130-nu

2³*3=24=1,2,3,4,6,8,12,24
2³*5=40=1,2,4,5,8,10,20,40
2³*7=8*7=56=1,2,4,7,8,14,28,54
2³*11=88=1,2,4,8,11,22,44,88
2³*13=8*13=104=1,2,4,8,13,26,52,104
2³*17 =136>130 nu

Asadar, numerele naturale cel mult egale cu 130, care au exact 8 divizori sunt: 24,30,40,42,54,56,66,70,88,102,104,105,110,114,130.
______________________________________
 8. Determinați numarul natural n, știind că
a) n+4 este divizor al nr. 18
n+4=18 =>n=14
n+4=9 =>n=5
n+4=6 =>n=2
=>n∈{2,5,4}

b) 18 supra n+2 apartine numerelor naturale.
18/(n+2) =1 =>n=18-2=16
18/(n+2) =2 =>2n=18-4=14 => n=7
18/(n+2) =3 =>3=18-6=12 =>n=4
18/(n+2) =4 sau 5 nu se poate deoarece 4 si 5 nu sunt divizori ai lui 18
18/(n+2) =6 =>6n=18-12=6 =>n=1
18/(n+2) =18 =>18n=18-36=-18 => n= -1  nu este natural
n∈{1,4,7,16}
___________________________________
 9. Suma a două numere naturale prime este 15. Aflați cele doua numere.
Numerele prime pana la 15 sunt:
1,2,3,5,7,11,13
Singura posibilitate este :
13+2=15
______________________________________
10. Fie nr. a= n la puterea 2 - n + 19. Aflați cea mai mica valoare a lui n, număr natural , pentru care a nu este număr prim.

a=n²-n+19
n=0, a=19 - numar prim
n=1, a=19 - numar prim
n=2, a=4-2+19=21 ok!
Deci: n=2