Question

1. Determinați numarul natural n, știind că:

a) 5 la puterea 1+2+3+....+2014= 5 la puterea n+1007

b) 7 la puterea 2+4+6+....+100=7 la puterea n (n+1)

 

2. Să se afle ultimele 2014 cifre ale numarului 7000 la puterea 671.

Answer 1

1)daca bazele sunt egale inseamna ca si exponentii sunt egali

1+2+3+...+2014=n+1007

(1+2014)*2014/2=n+1007

2015*1007=n+1007

n+1007-2015*1007=0

1007(n-2015)=0

n-2015=0

n=2015

b)2+4+6+...+100=n(n+1)

2(1+2+3+...+50)=n(n+1)

2*(1+50)*50/2=n(n+1)

50*(50+1)=n(n+1)   =>n=50

2)7000¹=7000
7000²=49 000 000
7000³=343 000 000 000
........................
7000⁶⁷¹=(..........000 000 000)   }sunt 671 grupuri de trei zerouri

671*3=2013 de zero

7¹=(....7)
7²=(.....9)
7³=(......3)
7⁴=(......1)
7⁵=(........7)   se repeta din 4 in 4

671:4=167 rest 3  deci ne uitam la 7 cu puterea 3 si ne da un numar care se termina in (.......3)

deci 7000⁶⁷¹= (.....3 000 000 000.....) de 2013 ori 0 si 3