Question

1. Determinați numerele reale m pentru care ecuația x^2-(3m+2)x+1=0 are rădăcini reale egale.
2. Fie f:R-R, f(x)=x^2+mx+3, m aparținând lui R. Determinați valorile parametrului real m astfel încât Gf ∩Ox ≠Ф.
3. Determinați funcția de gradul al doilea f:R-R, f(x)=x^2+ax+b știind că punctul A(0,3)∈Gf și axa de simetrie este dreapta d:x-1=0.

Answer 1

1. Ecuația are rădăcini reale egale, atunci $\Delta=0.$

$\Delta=(3m+2)^2-4*1*1=9m^2+12m+4-4=9m^2+12m=3m(3m+4)\\\Delta=0=>3m(3m+4)=0=>m=0 sau 3m+4=0, adica m=-4/3.$

Deci m ∈ {0,-4/3}.

2. Gf ∩ Ox = ∅ înseamnă că ecuația f(x)=0 nu are rădăcini reale, adică  $\Delta<0.$

$\Delta=m^2 - 4*3*1=m^2-12\\ \Delta<0 =>m^2-12<0$

Ecuația $m^2-12=0$ are ca rădăcini $m_{1} =\sqrt{12} =2\sqrt{3}$ și $m_{2} =-\sqrt{12} =-2\sqrt{3}$, astfel că m^2-12<0 implică m ∈ (-2√3, 2√3).

3. A(0,3) ∈ Gf ⇒ f(0)=3 ⇔ 0^2+a*0+b=3 ⇔ b=3.

Axa de simetrie este d:x=1 ⇒ $x_{V} = 1$ ⇔ -a/2=1 ⇔ a=-2

Deci f(x)=x^2-2x+3.