Question

1. Determinați toate numerele naturale de forma overline xyx , divizibile cu 6

2. Determinați toate numerele naturale de forma 1xy, divizibile cu 45. Va rog frumos dau coroana?
Va rog frumoss​

Answer 1

Răspuns:

1. 222, 252, 282, 414, 444, 474, 606, 636, 666, 696, 828, 858, 888

2. 135 si 180

Explicație pas cu pas:

1.

Daca un numar este divizibil cu 6, atunci el trebuie sa fie divizibil si cu divizorii lui 6, adica cu 2 si cu 3

Un numar divizibil cu 3 va avea suma cifrelor divizibila cu 3.

Un numar divizibil cu 2 va avea ultima cifra (adica cifra unitatilor) para, adica 0, 2, 4, 6 sau 8

In cazul nostru, observam ca cifra unitatilor este aceeasi cu cifra sutelor, deci nu poate sa fie 0, deci x ∈ {2, 4, 6, 8} , iar suma celor trei cifre ale numarului este: x + y + x = 2x + y, care trebuie sa fie multiplu al lui 3

Acum aplicam cele doua "reguli", luand la rand toate cele 4 posibilitati pentru x

a) x = 2

2x + y = 2*2 + y = 4 + y. Pentru ca acesta sa fie multiplu al lui y, atunci y ∈ {2, 5, 8}, deci avem raspunsurile:

222 , 252 , 282

b) x = 4

2x + y = 2*4 + y = 8 + y. Pentru ca acesta sa fie multiplu al lui y, atunci y ∈ {1, 4, 7}, deci avem raspunsurile:

414, 444 , 474

c) x = 6

2x + y = 2*6 + y = 12 + y. Pentru ca acesta sa fie multiplu al lui y, atunci y ∈ {0, 3, 6, 9}, deci avem raspunsurile:

606, 636, 666, 696

d) x = 8

2x + y = 2*8 + y = 16 + y. Pentru ca acesta sa fie multiplu al lui y, atunci y ∈ {2, 5, 8}, deci avem raspunsurile:

828 , 858 , 888

2.

Similar cu primul exercitiu :

Daca un numar este divizibil cu 45, atunci el trebuie sa fie divizibil si cu divizorii lui 45, adica cu 3 , 5 si cu 9.

Un numar divizibil cu 9 va avea suma cifrelor divizibila cu 9.

Un numar divizibil cu 3 va avea suma cifrelor divizibila cu 3. Putem ignora pe 3, deoarece daca este divizibil cu 9 atunci implicit este divizibil si cu 3

Un numar divizibil cu 5 va avea ultima cifra (adica cifra unitatilor) fie 0, fie 5

Stim ca numarul are trei cifre, prima cifra este 1, ultima este 0 sau 5, iar suma cifrelor este multiplu de 9.

Notam cu x cifra zecilor si cu y cifra unitatilor, si avem asa:

a) y = 0

1 + x + 0 = x + 1. Pentru ca acesta sa fie multiplu al lui 9, atunci x = 8, deci numarul este 180

b) y = 5

1 + x + 5 = x + 6. Pentru ca acesta sa fie multiplu al lui 9, atunci x = 3, deci numarul este 135