Question

1.Determinati toate numerele naturale nenule de doua cifre, xy (cu bara deasupra), care impartite la 9 dau catul a si restul b, iar impartite la 5 dau catul b si restul a.
2.Suma a patru nr naturale este 450. Impartindu-le prin acelasi numar nat. nenul, se obtin caturile numere consecutive si resturile 1,2,3, respectiv 4. Aflati numerele.
AJUTORRRR VA ROGGG DAU COROANA <3

Answer 1

1)xy=10x+y
xy ∈ N* (1)


xy : 9= a rest b  <=>  xy= 9 * a +b 
I>R  ===> 9>b
                 b ∈ N  ∧  (1)  ----> b ∈ {1;2;...;8}

xy : 5= b rest a  <=>  xy= 5 * b + a
5>a
a ∈ N   ∧  (1)  ----> a ∈ {1;2;3;4}

9a+b=5b+a
9a-a=5b-b
8a=4b   |:4

2a=b
xy=5b+a

Pentru a=1 ===>b=2*1=2   --->xy=5*1+2=5+2= 7 'F'
a=2 ===>b=2*2=4  --->xy=5*2+4=10+4=14 'A'
a=3 ===>b=2*3=6  --->xy=5*3+6=15+6=21 'A'
a=4 ===>b=2*4=8  --->xy=5*4+8=20+8=28 'A'

xy ∈ {14;21;28}


2) a+b+c+d=450

a:n= c rest 1   ===>a= n*c+1
I>R ---> n>1 <=> n ∈ (1; +∞)  (1)

b:n= (c+1) rest 2  ===>b=n*(c+1) +2= n*c+n+2
n>2 <=> n ∈ (2;+∞)  (2)

c:n= (c+2) rest 3  ===>c= n*(c+2) +3= n*c +2n+3
n>3 <=> n ∈ (3;+∞)  (3)

d:n= (c+3) rest 4  ===>d= n*(c+3)+4= n*c+3n+4
n>4 <=> n ∈ (4;+∞)  (4)

Se poate observa prin intersectia intervalelor din relatiile (1),(2),(3) si (4) ca n poate lua orice valoarea naturala mai mare decat 4.     ( n > 4 )

nc+1 + nc+n+2 + nc+2n+3 + nc+3n+4= 450

4nc + 6n + 10=450    |(-10)
4nc+6n= 440  |:2

2nc+3n=220
n*(2c+3)=220

220= 2² * 5 * 11= 4 * 5 * 11

Se poate observa,de asemenea, ca 2c+3 este un numar impar indiferent de valoarea lui c -numar natural,nenul. ( c ≥ 0 ;  2c+3 ≥ 3) , dar si faptul ca 2c+3 este mai mare decat 1 ( 3 > 1 ) ,astfel ne raman 2 solutii pentru rezolvarea problemei.

Stiam ca n > 4 , dar cum 2c+3 este numar impar, n va lua doar 2 valori: 4*5 sau 4 *11.

Varianta I
n=4*5=20  <=> 2c+3=220:20 <=> 2c+3= 11 <=> 2c=8 ===>c=4

a=n*c +1 = 20*4+1 =80+1=81
b=n*(c+1)+2=20*(4+1)+2= 20*5+2=100+2=102
c=n*(c+2)+3=20*(4+2)+3= 20*6+3=120+3=123
d=n*(c+3)+4=20*(4+3)+4= 20*7+4=140+4=144

Verificare: 81+102+123+144= 450    'A'

Varianta II
n=4*11=44 <=> 2c+3=220:44 <=> 2c+3=5 <=> 2c=2 ===>c=1

a=n*c+1=44*1+1=44+1=45
b=n*(c+1)+2=44*(1+1)+2=44*2+2=88+2=90
c=n*(c+2)+3=44*(1+2)+3=44*3+3=132+3=135
d=n*(c+3)+4=44*(1+3)+4=44*4+4=176+4=180

Verificare:    45+90+135+180=450   'A'  

Answer 2

9)
n=9a+b
n=5b+a
b<9, a<5 (rest mai mic ca impartitor)
9a+b=5b+a
b=2a
a=1, b=2 ⇒ xy=9+2= 10+1=11
a=2, b=4 ⇒ xy=18+4=20+2=22
a=3, b=6 ⇒ xy=27+6=30+3=33
a=4, b=8 ⇒ xy=36+8=40+4=44

2)
m+n+p+k=450
m=cx+1
n=(c+1)x+2
p=(c+2)x+3
k=(c+3)x+4
(cx+1)+(cx+x+2)+(cx+2x+3)+(cx+3x+4)=450
4cx+6x+10=450
2x(2c+3)=440
x(2c+3)=220=2^2 . 5 . 11
x>4
x∈ {5;10;11;20;22;44;55} x se regaseste printre divizorii lui 220
x=5, 2c+3=44 nu
x=10, 2c+3=22 nu
x=11, 2c+3=20 nu
x=20, 2c+3=11, c=4 ok.
x=22, 2c+3=10, nu
x=44, 2c+3=5, c=1 ok.
x=55, 2c+3=4 nu

avem variantele:
c=1, x=44, m=45, n=90, p=135, k=180
c=4, x=20, m=81, n=102, p=123, k=144
daca e ceva neclar le lamurim