Question

1.Determinati ultima cifra a numerelor:
  a)71 la puterea 10000001
  b)1009la puterea 9001
 c) 77 la puterea 36 +77 la puterea 37+77 la puterea 38 +77 la putera 39
 d)c=3la puterea 0 +3 la puterea1 +3 la puterea 2+3 la puterea  3 +...+3la puterea 42.
e)d)d=8+8 la puterea 2 + 8 la puterea 3 +...+8 la puterea 88.
2.Determinati numarul natural n pentru care au loc egalitatile: 
a)3 la puterea 2*n-3=27 la puterea 7 :9 la puterea 2
b)5 la puterea 3*n+1=25 la puterea 11
c)7 la puterea n+1 :7 la puterea 4 =49 la puterea 2 la puterea 3
d) 10 la puterea 2*n+1 : 5 la puterea 2*n+1+8 la puterea 9

Answer 1

1.a)71 la orice putere are ultima cifra 1 pentru ca 1 la orice putere este 1
b)se da factor comun 77 la puterea 36,iar in paranteza se obtine (1+77+77la a 2 +77la a 3)valoarea parantezei este un numar care se termina cu 0,deci obtinem ultima cifra 0
c)

Answer 2

a)1 la orice putere are ultima cifra 1, deci
ultima cifra a lui 71¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰¹ este 1;

  b)9 ridicat la putere para are ultima cifra 1, iar la putere impara 9, deci
ultima cifra a lui 1009⁹⁰⁰¹ este 9;

 c) ultima cifra a puterilor lui 7 sunt seturi de cate 4 : 7,9,3,1
36:4= 9 rest 0, deci  ultima cifra a lui 77³⁶ este 1
37:4=9 rest 1, deci ultima cifra a lui 77³⁷ este 7
38:4=9 rest 2, deci ultima cifra a lui  77³⁸ este 9
39:4=9 rest 3, deci ultima cifra a lui  77 ³⁹ este 3
=> 1+7+9+3=20
ultima cifra a lui 77³⁶ +77 ³⁷+77 ³⁸ +77 ³⁰ este 0

 d)c=3⁰ +3¹ +3²+3³ +...+3⁴².
3c=3¹ +3²+3³ +...+3⁴²+3⁴³
2c=3⁴³-1 => c= (3⁴³-1)/2;

e)d)d=8+8² + 8³ +...+8⁸⁸.
8d=8+8² + 8³ +...+8⁸⁸+8⁸⁹-8=d+8⁸⁹-8
7d=8(8⁸⁸-1)
d=8(8⁸⁸-1):7