Question

1)Determinati urmatoarele multimi:
A={x aprtine N/3x+11 pe x+1 aprtine N}
B={x aprtina Z/5x+13 pe 2x+1 aprtine Z
C={x aprtine Z/75<sau= 3xla2<sau=300}
D={x aprtine N/14<x la 2+4<sau=40}
2)Determinati:
a)N aprtine Z,3n+5 pe 3n-1 aprtine Z
b) 4n+1pe 2n+3 aprtine N

Answer 1

1.  (3x +11)/(x+1) ∈ N  ⇔  (x+1) |  (3x+11)
                                         (x+1) | (x+1) ⇒ (x+1) | 3(x+1) = 3x+3 ⇒
⇒(x+1) |(3x+11 - 3x -3) = 8 ⇔ (x+1) ∈D8    (x+1) ∈ {1,2,4,8}    A = {0,1,3,7} 
(5x + 13)/(2x+1) ∈ Z  ⇔    (2x+1) | (5x+13) ⇒ (2x+1) | (10x +26)
                                         (2x+1) | (2x+1) ⇒ (2x+1) | (10x +5) ⇒
⇒ (2x+1) | (10x+ 26 - 10x -5)    (2x+1) ∈ D21    2x+1∈{-21,-7,-3,-1, 1,3,7,21}
2x ∈ {-22,-8,-4,-2,0,2,6,20 }    B = {-11, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 10}    
75 ≤ 3x² ≤ 300     25 ≤ x² ≤ 100    5² ≤ x² ≤ 10²   5 ≤ x ≤ 10  C ={5,6,7,....10}   14 < x² ≤ 40     3² ≤ x² ≤ 6²  3 ≤ x ≤ 6   D = {3,4,5,6}  
2.a) (3n+5)/(3n-1) ∈ Z  ⇔ (3n-1) | (3n+5)  ⇒ (3n-1) |(3n + 5 - 3n + 1)
(3n-1) ∈ D6    3n -1 ∈ {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}  3n ∈ {-5,-2, 0, 2, 3,4,7}
n ∈ { 0,1}
b) (4n+1)/(2n+3) ∈N ⇔ (2n+3) | (4n+1)
                                     (2n +3) | (2n+ 3) ⇒ (2n+3) | (4n+ 6) ⇒
⇒ (2n+3) | (4n+6-4n-1)    (2n+3) ∈ D5    2n+3 ∈ {1,5}  2n ∈{ -2, 2}
n = 1