Question

1. Efectuati :

a) Aratati ca numarul a = 2003+2*(1+2+...+2002) este patrat perfect
b) Aratati ca numarul b = 1+3+5+...+2011 este patrat perfect
c) Aratati ca numarul c = 81+2*81+3*81+...+49*81

Answer 1

[tex]a)a=2003+2\cdot(1+2+3+...+2002)\\ a=2003+2\cdot\frac{2002\cdot2003}{2}\\ a=2003+2002\cdot2003\\ a=2003(1+2002)\Rightarrow a=2003^2\\ b)b=1+3+5+7+....+2011\\ b=1+2+3+4+.....+2011-2-4-6-....-2010\\ b=\frac{2011\cdot2012}{2}-2(1+2+3+...+1005)\\ b=2011\cdot 1006-2\cdot \frac{1005\cdot 1006}{2}\\ b=2011\cdot 1006- 1005\cdot1006\\ b=1006(2011-1005) \Rightarrow b=1006^2\\ c)c=81+81\cdot2+81\cdot3+...+81\cdot49\\ c=81(1+2+3+..+49)\\ c=81\cdot \frac{49\cdot 50}{2}\\ c=81 \cdot49\cdot25\\ [/tex]
$c=(9\cdot 7\cdot5)^2\Rightarrow c=315^2$