Question

1) f are Proprietatea Darboux=> f continua? (stiu ca f continua=>Darboux)

2)Daca f admite primitive pe un interval=>f continua?
Daca f admite prim=>F'=f (cu F continua). Daca F este derivabila(deci continua) inseamna ca si F' este continua?

Raspundeti la ce puteti.

Answer 1

Raspunsul este NU la toate intrebarile. Voi detalia si voi prezenta o diagrama la final care sa sintetizeze raspunsurile la aceste intrebari.

1. La prima intrebare exista un contraexemplu clasic, anume:

$\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},~f(x)=\begin{cases} f(x)=\sin \frac{1}{x}},~x \neq 0 \\ a,~x=0\end{cases},~unde~a \in [0,1].$

Aceasta functie se gaseste in orice carte de analiza matematica, precum si in manuale. Demonstratia e destul de laborioasa.

Un alt exemplu, ceva mai complex: functia lui Lebesgue. Nu insist pe acest exemplu, dar l-am mentionat pentru ca aceasta functie are o proprietate foarte interesanta: Are proprietatea lui Darboux si este discontinua in ORICE punct.

2. Contraexemplu:

$\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},~f(x)= \begin{cases} \dfrac{\cos \frac{1}{x}}{\sqrt[3]{x}},~ x \neq 0 \\ 0,~x=0\end{cases}$

(Aceasta functie apare in subiectul dat la Olimpiada Locala Dambovita din 2003 cu indicatia ca se poate folosi functia $\displaystyle \sqrt[3]{x} \sin x$ si punctul anterior)

De asemenea, daca cercetam cu atentie restrictiile din anumite teoreme, gasim raspunsul la aceeasi intrebare. Teorema Leibniz-Newton vorbeste despre o functie cu urmatoare proprietati: este integrabila si admite primitive.

Chiar din aceste restrictii ne putem da seama ca functiile care admit primitive nu sunt neaparat continue. De ce? Pentru ca, daca ar fi fost continue, atunci ar fi fost automat integrabile, iar constructia "este integrabila si admite primitive" ar fi un pleonasm.

Si tot de aici deducem ca functiile primitivabile nu sunt neaparat integrabile (si vice-versa). Ca fapt divers: functia sgn este integrabila, dar nu si primitivabila. Exista exemple si pentru reciproca, dar nu insist aici.

Voi mentiona proprietatea corecta: Daca f admite primitive, atunci f are proprietatea lui Darboux.

3. In matematica exista expresia "functie derivabila cu derivata continua". Daca prin absurd orice functie derivabila ar avea derivata continua, atunci aceasta expresie ar fi un pleonasm. Deci evident este falsa.