Question

1) 
 f:(-pi/2 ; pi/2) ->R
f(x)=sin(x) + cos(x)
--------------
Imaginea functiei este=?

Answer 1

Pe baza inegalitatii Cauchy-Buniakovski-Schwartz (CBS) obtinem:
f(x)=sin(x)+cos(x)=1*sin(x)+1*cos(x)<=rad(1^2+1^2)*rad((sinx)^2+(cosx)^2)=rad(2).

f(x)=sin(x)+cos(x)>sin(x)>=-1.

Deci -1<=f(x)<=rad(2), adica Im(f) este inclus sau egal cu (-1,rad(2)].

Cum f(pi/4)=rad(2)/2, limita cand x->-pi/2 din f(x)=-1 si f este continua, deducem ca Im(f)=(-1,rad(2)].