Question

1. Fie ΔABC, m(<A)=90⁰. Aratati ca AB+AC=2(R+r)
 2. ΔABC are aria egala cu$\sqrt{3}$ , AB=2, A=$\frac{ \pi }{3}$ . Calculati BC.
3. Determinati numarul elementelor multimii: A={x∈Z|[$\frac{x+1}{2}$]=3}.

Answer 1

Notam cu a=BC , b=AC, c=AB lungimile laturilor triunghiului.
Intr-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este egala cu diametrul cercului circumscris, de unde raza cercului circumscris este egala cu jumatate din ipotenuza, adica:
[tex]R=\frac{a}{2}\ \ \ (1)\\ [/tex]
Este de asemenea cunoscuta (foarte usor de demonstrat) formula referitoare la raza cercului iinscris in triunghi:
[tex]r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{bc}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{bc}{a+b+c}\\ \text{Vom demonstra ca }\\ \frac{bc}{a+b+c}=\frac{b+c-a}{2} \\ \text{Egalitatea de mai sus ar fi echivalenta cu:}\\ 2bc=(b+c-a)(b+c+a)\Leftrightarrow 2bc=(b+c)^2-a^2\\ \Leftrightarrow 2bc=b^2+c^2-a^2+2bc\ (A)\\ \text{Putem concluziona ca }r=\frac{b+c-a}{2}\ \ \ (2) \\[/tex]
[tex]\text{Din (1) si (2) rezulta }\\ R+r=\frac{a}{2}+\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c}{2}=\frac{AC+AB}{2}\Rightarrow\\ AB+AC=2(R+r)\\ \\ A_{[ABC]}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}\Rightarrow AC=\frac{2A_{[ABC]}}{AB\cdot \sin A}=\\ =\frac{2\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=2\\ \text{ Observam ca triunghiul este isoscel si are un unghie de 60 grade}\\ \Rightarrow \Delta ABC \text{ echilateral }\Rightarrow BC=2[/tex]
3) [(x+1)/2]=3  ⇒ 3≤(x+1)/2<4 ⇒ 6≤x+1<8 ⇒ A={5,6} are doua elemente.