Question

1.  Fie [BM bisectoarea unghiului  B in triunghiul ABC . Daca MN || BC , N ∈[AB], demonstrati  ca triunghiul BMN  este triunghi isoscel.

2. Fie triunghiul oarecare ABC iar , [AM bisectoarea unghiului BAC , M ∈ [BC].
   Stiind ca paralela prin C la AM intersecteaza dreapta AB  in punctul N
  a)demonstrati ca unghiul MAC≡ unghiul ANC
  b)aratati ca triunghiul NAC este isoscel.

3.Fie triunghiul ABC  si triunghiul ABD doua triunghiuri isoscele  ( AB=AC=AD=10) si unghiul  CAB  = unghiul DAB = 30°. Daca CM  perpendicular pe AB  , M ∈  [AB]
 a)demonstrati ca DM  perpendicular pe AB
 b) aflati lungimea segmentului CM


Astea sunt 3 probleme pe care as vrea sa ma ajutati sa le rezolv .. Multumesc celor care vor incerca

Answer 1

1. Din MN || BC rezulta unghiul NMB= MBC (unghiuri alterne interne).
Dar BM bisectoare, deci unghiul NBM=MBC.
Deci unghiul NMB=NBM deci triunghiul BMN este isoscel.

2. a) Din CN || AM rezulta unghiul CNA=BAM
Dar AM bisectoare, deci unghiul BAM=CAM.
Deci unghiul CAM≡ unghiul CNA.

b)  Din CN || AM rezulta unghiul CAM= ACN (unghiuri alterne interne).
Cum din a) avem unghiul CAM≡ unghiul CNA rezulta din aceste doua relatii ca unghiul ACN=CNA, deci triunghiul NAC este isoscel.

3. a) In triunghiurile ACM si ADM avem:
AM=AM (latura comuna)
unghiul CAM=DAM=30 grade
AC=AD=10
Deci triunghiul ACM ≡ triunghiul ADM (cazul L.U.L.)

Cum m(AMC)=90 grade rezulta ca si m(AMd)=90 grade, adica DM  perpendicular pe AB.

b) Cum m(CAM)=30 grade in triunghiul dreptunghic CAM inseamna ca  m(ACM)=60 grade.
Din a) avem, din congruenta triunghiurilor ACM si ADM, deci m(ACM)=m(ADM)=60 grade, iar CM si DM fiind perpendiculare pe AB inseamna ca CM si MD sunt in prelungire, deci se formeaza triunghiul ACD cu CD intersecteaza pe AB in M.
Avem m(ACM)=m(ADM)=60 grade si m(CAD=m(CAM+MAD)=30+30=60 grade, deci triunghiul ACD este echilateral, deci AC=AD=CD=10.

Din congruenta triunghiurilor ACM si ADM amev CM=MD, deci m este mijlocul lui CD=10, deci CM=5.