Question

1.Fie expresia E(x)=x^2-1
-----------
x^2+2x+1
a) Pentru x=1 , valoarea expresiei este :
b)Forma cea mai simpla a expresiei este :
c)Valorile întregi ale lui x pentru care E(x) € Z sunt :

2.Daca x+y=3 radical din 2 si x-y= radical din 2 , atunci
a)x^2-y^2=
b) (x.y)^2=
c)x(x+y)=

Answer 1

$E(x)=\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$
a) Pentru x = 1:
$E(1)=\frac{1^2-1}{1^2+2*1+1}=\frac{0}{1+2+1}\\ E(1)=0$
Valoarea expresiei este 0.
b) Forma cea mai simpla a expresiei este:
$E(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{x-1}{x+1}$
Atentie! x este diferit de -1.
c) Trebuie sa aflam valorile pentru care E(x) ∈ Z.
Pentru asta, trebuie ca x-1 sa divida x+1.
(x-1)|(x+1) (1)
Stim ca (x-1) | (x-1) (2)
Din (1) si (2) => (x-1)|(x+1-x+1)=>(x-1)|2 => x-1 ∈ D₂
x-1∈{+1,-1,2,-2}.
x-1 = 1 => x = 2
x-1 = -1 => x = 0
x-1=2=>x=3
x-1=-2=>x=-2+1=>x=-1
Atunci avem solutiile x∈{2,0,3,-1} \ {-1} (conditia de existenta) => x∈{2,0,3}.
2)x+y=3√2
x-y=√2
a)x²-y²=(x-y)(x+y)=>x²-y²=√2 * 3√2 = 3*2 =>x²-y²=6
b)(x+y)²=x²+2xy+y²=18(1)
(x-y)²=x²-2xy+y²=2=>x²+y²=2+2xy
Inlocuind in (1) pe x²+y²:
2+2xy+2xy=18=>2+4xy=18=>4xy=16=>xy=4
=>(x*y)²=4²=16.
c)Avem x+y=3√2 si xy=4. Deducem pe x =2√2 si y =√2.
Atunci x(x+y)=2√2(2√2+√2)=2√2*3√2=6*2=>x(x+y)=12.