Question

1.Fie f:{0,1,2,3}->{1,2,3}.
a) câte funcții se pot forma.
b) câte funcții se pot forma dacă f(0)=3.
c) cate funcții se pot forma dacă f(1)=f(2).

Answer 1

Pentru a deduce modul în care se rezolvă problema, să luăm un caz general (fără valori exacte, deoarece în acest caz n-au relevanță).

Fie o funcție $f:A \rightarrow B$, unde $A=\{a_1;~a_2;~a_3;~...;~a_m\}$ și $B=\{b_1;~b_2;~b_3;~...;~b_n\}$.

Observăm că |A|=m și |B|=n, unde |A| și |B| reprezintă numărul elementelor din mulțimea A, respectiv din mulțimea B.

Pentru ca funcția să fie validă, trebuie ca fiecărui element din domeniul de definiție (mulțimea $A$), să-i aparțină un singur element din co-domeniu (mulțimea $B$)

a) $f(a_1)$ poate lua $n$ valori, și anume cele din co-domeniu, adică $b_1, b_2, ..., b_n$. De asemenea, și $f(a_2)$ poate lua tot $n$ valori. Fiecare dintre cele $m$ elemente ale mulțumii $A$ pot lua câte $n$ valori. 

Astfel, numărul de funcții posibile va fi dat de:

$\underbrace {n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n}=n^m=|B|^{|A|}\\^{~~~~de~m~ori}$

În cazul nostru, numărul de funcții posibile va fi $3^4=81$.

b) Pentru punctul b, avem restricția ca $f(0)=3$. Asta înseamnă că $f(0)$ poate lua o singură valoare, iar $f(1),~f(2)$ și $f(3)$ pot lua fiecare câte 3 valori.

Deci: numărul de funcții va fi $1\cdot 3\cdot3\cdot 3=3^3=27$.

c) La punctul c, avem restricția $f(1)=f(2)$. Deci, gândește-te ca și cum cele două sunt "la pachet". Amandouă pot lua simultam una din cele 3 valori ale co-domeniului, așa că la calculul final, le vom considera ca fiind un singur element, deoarece valoarea uneia determină valoarea celeilalte. În schimb, $f(0)$ și $f(4)$ rămân independente de celelalte elemente și fiecare poate lua tot câte 3 valori. Astfel, numărul de funcții va fi $3\cdot 3\cdot 3=27$.

Nu știu dacă am fost destul de explicit. Dacă e ceva neclar, poți să mă întrebi în comentarii!