Question

1. Fie f:R cu valori in R , o funcție cu proprietatea ca 2f(3-2x) + f(2x-2) = x oricare ar fi x € R . Studiau bijectivitatea
2. Fie f:R cu valori in R , f(x) ={ ax+2 , x<2 ; x+2, x>sau egal 2 . Sa se det a pt care funcție este invectivă , surjectiva și bijectiva

Answer 1

2)
 
f(x) =x+2;[0;∞) bijectiva, ca functiede grad1

discutie functie de a


a=0 vezi grafic cu verdefunctia nu e injectiva, nu e surjectiva pe R fig .1
dar e surjectiva pe [2;∞)



a=1
f(x) =x+2 pt x<0, functia este bijectiva pe R  fig 2

a>1  fig3 sau 0<a<1 functia este injectiva, surjectibava (deci bijectiva) pe R....sin continua,...aduca atunci cand x se a[propie de 0 cu valori mai miocidecat 0, f(x)swe apropiede 2, care s e si valoarea functiei
ai in fig 2,3,4 diverse cazuri pt a >0, in toate , functia este bijectiva


a<0
v fig 5, f(x) nu mai este nici surjectiva pe R ( dar este surjectiva pe [2;∞) nici injectiva


1
 fie h(x) =2x, functiede gradul 1, bijectiva
g(x) =3-2x
i(x)=2x-2 functiede gradul intai, bijectiva
j(x)=x, 1x, functia identica, functie de gradul intai, bijectiva
atunci relatia devine
h(f(3-2x))+f(i(x))=x =j(x)
cum h(x) , 3-2x, 2x-2 si j(x)=x sunt bijective, rezulta ca si f(x) este bijectiva

Obs extra ..
 dand valori convenabileb lui x, (de exemplu 1 si 3/2;sau2 si1/2) am cautat sa gasesc valori  x1≠x2 pt care f(x1)=f(x2)
am rezolvat sistemele obtinute , in f(0) si f(1)de exemplu, pt x=1 si apoi x=3/2)  si am obtinut f(0)≠f(1),apoi, respectiv, pt alte valori, alte sisteme  f(-1) ≠f(2), f(3)≠f(-2)
adica nu amreusit sa gasesc perechi de x1≠x2 pt care f(x1)=f(x2)
acestea desigur nu sunt demonstratii ale injectivitaii pe R, dar mi-au dat o idee
pt GENERALIZARE o demonstratie partiala

desi fie x1 asa fel incat
f(3-2x1)= f(a) si f(2x1-2)=f(b) obtinem o ecuatie
2f(a) +f(b)=x1
de exemplu x1=2
f(3-2x1)=f(3-4)=f(-1)
iar f (2x1-2)=f(4-2)=f(2)
deci prima ecuatie devine
2f(-1)+f(2)=x1
 alegem apoi x2 asafel incat
2x2-2=a
adica 2x2-2=-1
2x2=1
x2=1/2
si a doua relatiedevine
2f(2) +f(-1)=1/2
 adica , generalizat
2f(b)+f(a)=x2

 ordonad ca la sisteme ce se afla
2f(a) +f(b)=x1
f(a) +2f(b)=x2
 rezolvand acest sistem cu necunoscutele f(a) si f(b) determinantul va fi 2*2-1*1=3 3 si pt x1≠x2, Δf(a)≠Δf(b) deci f(a)≠f(b)

Δf(a)=
 x1    1
x2    2
f(a)=Δf(a)/Δ=(2x1-x2)/3

Δx2=
2    x1
 1...x2
f(b)=Δf(b)/Δ=(2x2-x1)/3


pt ca f(a) = f(b) ar fi necesar ca
2x1-x2=2x2-x1
 adica
3x1=3x2
x1=x2
deci functia f este INJECTIVA
 adica la valori egale ale lui x, corespund valori egale ale c lui f(x) sau , echivalent, la valorin diferite ale lui x corwespund valoridiferite ale lui f(x)

pt surjectiviatea, PAS, dfar cred ca putem forta cu surjectivitatea membrului din stanga, j(x)=x