Question

1.Fie fractia E=x²+(m+1)x+m+2 totul supra x²+x+m.Sa se determine m ai.fractia E sa aiba sens si sa fie pozitiva pentru orice x∈R.
2.Sa se rezolve ecuatia:
parte intreaga din: x²-3x+1 totul supra 3 = x+1 totul supra 3

Answer 1

Nu am timp decat pentru 1.

Numitorul trebuie sa fie diferit de zero pentru orice x real. Pentru aceasta, trebuie ca
$\Delta<0\Rightarrow 1-4m<0\Rightarrow m>\dfrac14\Rightarrow m\in(\dfrac14;\infty)$
Pentru m in acest interval, numitorul, meavand radacini, are peste tot semnul "+", deci este >0.
Trebuie ca si numaratorul sa fie > 0 pentru orice x real(pentru ca se cera ca fracta sa fie >0)
Pentru aceasta trebuie ca

$\Delta<0\Rightarrow(m+1)^2-4(m+2)<0$

$m^2+2m+1-4m-8<0$

$m^2-2m-7<0$ Pentru rezolvarea acesteia, rezolvam ecuatia atasata:

$\Delta_m=4+28=32\Rightarrow m_{1;2}=\dfrac{2\pm4\sqrt2}{2}=1\pm2\sqrt2$

Deci intre aceste radacini, delta este negativ. Pentru m avem deci conditiile.

$m\in(1-2\sqrt2;\ 1+2\sqrt2)\cap(\frac14;\infty)=(\frac14; \ 1+2\sqrt2)$