Question

1.Fie functia f:R->R ,f(x)=-x-1 . a) Determinați punctul de pe graficul functiei f care are coordonatele egale .
2. Fie funcția f:R-> R ,f(x)=2x-1 .a) Determinați numărul m pentru care punctul A(2m,m la a doua +3) aparține reprezentării grafice a funcției f . b)Reprezentați grafic funcția .
3. Fie funcția f:R->R ,f(x)=x+1 .Arătați ca numărul A= 2012+2*[f(0)+f(1)+...+f(2010)] este pătrat perfect.
4. Fie funcția f:R-R ,f(x)=ax+b a,b€R. a)Determinați funcția f știind ca f(2012)=2011 si punctul A(0;-1) aparține graficului funcției f . b)Daca f:R-R,f(x)=x-1 ,reprezentați grafic funcția f .
5. Fie funcția f:R-R ,f(x)=3 supra 4 *x -1 .a)Calculați f(-4)* f(4). b)Determinați punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate .
VA ROGGGGGG!!!

Answer 1

1.a) Un punct de pe grafic este f[tex]x = -x-1\\~ 2x = -1\\~ x = \frac{-1}{2}[/tex]orma $(x,f(x))$. Faptul că coordonatele sunt egale se rescrie ca $x=f(x)$.

2.a) Vrem $A(2m,m^2+3)$ să aparțină $G_f = \{ (x,f(x)):x \in R \}$. Cu alte cuvinte, vrem $f(2m) =m^2+3$.

[tex]f(2m) = 4m-1\\~ f(2m) = m^2+3\\~ 4m-1=m^2+3\\~ m^2-4m+4 = 0\\~ \Delta = 16-16 = 0\\~ x_1 =x_2 =\frac{4}{2} = 2[/tex]

Am obținut m = 2, deci A(4,7) este în reprezentarea grafică a funcției.
b)
Observăm că funcția este liniară, deci reprezentarea ei grafică este o dreaptă. O dreaptă este determinată unic de două puncte, avem deja punctul A, mai găsim un punct B și formăm dreapta AB și ea este funcția noastră. Pentru a găsi B, facem o alegere pentru x( să spunem x = 0). Așadar, B(0,f(0)) = B(0,-1). Am atașat o poză cu  graficul funcției, dar e banal.

3. [tex]f:R \rightarrow R, f(x) = x+1\\~ A= 2012+2*[f(0)+f(1)+...+f(2010)][/tex] Calculăm suma din paranteze folosind suma lui Gauss( nu uita ca f(0) = 1). Avem că [tex]A = 2012 + 2*\frac{2011*2012}{2}\\~ A = 2012+2012*2011 = 2012*2012.[/tex], se vede că e pătrat perfect.

4.a)[tex]f:R \rightarrow R, f(x)=ax+b, \left \{ {{f(2011)=2012} \atop {f(0)=-1}} \right. \\~ \left \{ {{2011a+b=2012} \atop {b=-1}} \right. \\~ 2011a-1=2012\\~ 2011a=2013\\~ a = \frac{2013}{2011}[/tex]

b) Facem două alegeri pentru x, fie ele 1 și -1 și obținem punctele A(1,0) și B(-1,-2). trasăm o dreaptă între A și B și am terminat. A doua poză, tot o dreaptă doar că mai puțin înclinată.

5.$f:R\rightarrow R,f(x)=\frac{3}{4}x-1$

a)$f(-4)*f(4)=(\frac{3}{4}(-4)-1)*(\frac{3}{4}*4-1) = -4*2 = -8$
b)
Intersecția cu axa Ox este de forma $(0,x)$
Intersecția cu axa Oy este de forma $(y,0)$
Iar cele două puncte trebuie să aparțină graficului funcției, cu alte cuvinte, ele sunt de forma $(0,f(0))$ și $(y,f(y))$ cu proprietatea că $f(x)=0$.

Intersecția cu axa Ox este $(0,-1)$
Iar pentru intersecția cu axa Oy trebuie să-l determinăm pe y.

[tex]f(y) = 0\\~ \frac{3}{4}y-1=0\\~ \frac{3}{4}y = 1\\~ y = \frac{4}{3}[/tex]

Am găsit punctul $(\frac{4}{3},0)$