Question

1.Fie sirul ($x_{n}$) cu$x_{n} = sin^{2} \frac{ pi}{n} +sin^{2} \frac{ pi}{n+1}+...+sin^{2} \frac{ pi}{2n}.$. Sa se calculeze \lim_{n \to \infty} x_n .
2.Fie sirul ($x_{n}$) cu $x_{n} = cos a cos \frac{ a}{2}cos \frac{ a}{ ^{ 2^{2} } }...cos \frac{a}{ 2^{n} }$.
a)Aratati ca $x_{n} = \frac{sin2a}{ 2^{n+1}sin \frac{a}{ 2^{n} } }$
b)Studiati convergeanta sirului pentru a∈{$-\frac{pi}{2} ,0, \frac{pi}{2}$}
c)Daca a∈($-\frac{pi}{2} , \frac{pi}{2}$)- {0} ,aratati ca sirul este convergent

Answer 1

Aplici  inegaliatea  sinx<x x∈[0;π/2]s
sin π/n≤π/n => sin²π/n≤π²/n²
sinπ/(n+1)≤π/(n+1)=>sin²π/(n+1)≤π²/(n+1)²
..................................................................
sinπ/2n≤π/2n  sin²π/2n≤π²/(2n)
Se aduna  termen  cu termen  
sin²π/n+sin²π/(n+1)+...+sin²π/2n≤(π²/n²+π²/(n+1)²+...+π²/2n²)
In  paranteza   sunt  n+1  termeni  din  care  cel  mai   mare π²/n²
Deci  π²/n²+...+π²/2n²≤nπ²/n²=π²/n→0
cel mai  mic termen  al parantezei   este π²/2n²
Deci π²/n²+...+π²/2n²≥n*π/2n²=π/2n→0=>
Parantexa     tinde   la   o   
In   final 0≤limxn≤0 =>  lim  xn=0
b)  se aplica  formula   2sinx*Cosx=sin2x
Se   considera   xn   o   fractie   cu   numitorul   1   si   se  amplifica   cu   2*sina/2^n
xn=[cosa*cosa/2*...*(2cosa/2^n*sina/2^n)/2sina^n=cosa*cos2a*...*cosa/2^(n-1)]2*sin a/2^n=...  Se  amplica   cu   2  
si   se  obtine
xn=[cosa*cosa/2*...*sina/2^(n-2)]/2^2*sina/2^n
Se continua   procedeul   amplificarilor  cu  2   pina   cand  in  final   se   ajunge la
xn=2cosa*sina/2^(n+1)*sina/2^n=sin2a/2^n*sina/2^n