1. Fie T>0.Dati exemplu de o functie f:R->R care sa admita perioada principala T.
2. Aratati ca orice functie periodica si monotona f:R->R este constanta.
3. Aratati ca, daca o functie f:R->R are proprietatea R\Q inclus in Pf , atunci este constanta.
4. Aratati ca, daca graficul unei functii f:R->R are doua axe de simetrie, atunci f este periodica.
Sweet31A:
Multimea perioadelor functiei f
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
4
1.
[tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\sin\frac{2\pi x}{T}\\ f(x+T)=f(x)=\sin\frac{2\pi (x+T)}{T}=f(x)=\sin\frac{2\pi x+2\pi T}{T}=\\ \sin(\frac{2\pi x}{T}+2\pi)=\sin\frac{2\pi x}{T}=f(x)[/tex]
2.
Vom presupune ca functia este monoton crescatoare pe R. Cazul in care functia este descrescatoare se trateaza analog.
PP RA ca functia f nu este constanta:
[tex]\exists\ x_1,x_2\in\mathbb{R},\ x_1\ \textless \ x_2\ a.i. \ f(x_1)\ \textless \ f(x_2)\\ \text{Luam } n=[\frac{x_2-x_1}{T}]+1,\text{unde $T$ este perioada functiei $f$.} \\\Rightarrow x_1+nt\ \textgreater \ x_2\Rightarrow f(x_1+nt)\ \textgreater \ f(x_2)\Rightarrow f(x_1)\ \textgreater \ f(x_2)\text{ (Fals) }[/tex]
Deci presupunerea ca functia f nu este constanta este falsa. Conchidem ca functia f este constanta.
4. [tex]d:x=a\text{ axa de simetrie a functiei $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$}\Leftrightarrow\\ f(2a-x)=f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}\\ Fc ~f~admite~doua~axe~de~simetrie~daca\\ \exists\ a,a'\in\mathbb{R}\ (distincte,~putem~pp~a\ \textless \ a')~ a.i: \\f(2a-x)=f(x)\\si\\f(2a'-x)=f(x)\\ \Rightarrow f(2a-x)=f(2a'-x),\ \forall x\in \mathbb{R} \\x\rightarrow 2a-x\\ f(2a-(2a-x))=f(2a'-(2a-x))\\ f(x)=f(2(a'-a)+x),\forall x\in\mathbb{R} \\ Luam~ T=2(a'-a)\ \textgreater \ 0 [/tex]
[tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\sin\frac{2\pi x}{T}\\ f(x+T)=f(x)=\sin\frac{2\pi (x+T)}{T}=f(x)=\sin\frac{2\pi x+2\pi T}{T}=\\ \sin(\frac{2\pi x}{T}+2\pi)=\sin\frac{2\pi x}{T}=f(x)[/tex]
2.
Vom presupune ca functia este monoton crescatoare pe R. Cazul in care functia este descrescatoare se trateaza analog.
PP RA ca functia f nu este constanta:
[tex]\exists\ x_1,x_2\in\mathbb{R},\ x_1\ \textless \ x_2\ a.i. \ f(x_1)\ \textless \ f(x_2)\\ \text{Luam } n=[\frac{x_2-x_1}{T}]+1,\text{unde $T$ este perioada functiei $f$.} \\\Rightarrow x_1+nt\ \textgreater \ x_2\Rightarrow f(x_1+nt)\ \textgreater \ f(x_2)\Rightarrow f(x_1)\ \textgreater \ f(x_2)\text{ (Fals) }[/tex]
Deci presupunerea ca functia f nu este constanta este falsa. Conchidem ca functia f este constanta.
4. [tex]d:x=a\text{ axa de simetrie a functiei $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$}\Leftrightarrow\\ f(2a-x)=f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}\\ Fc ~f~admite~doua~axe~de~simetrie~daca\\ \exists\ a,a'\in\mathbb{R}\ (distincte,~putem~pp~a\ \textless \ a')~ a.i: \\f(2a-x)=f(x)\\si\\f(2a'-x)=f(x)\\ \Rightarrow f(2a-x)=f(2a'-x),\ \forall x\in \mathbb{R} \\x\rightarrow 2a-x\\ f(2a-(2a-x))=f(2a'-(2a-x))\\ f(x)=f(2(a'-a)+x),\forall x\in\mathbb{R} \\ Luam~ T=2(a'-a)\ \textgreater \ 0 [/tex]
Alte întrebări interesante
Matematică,
9 ani în urmă
Biologie,
9 ani în urmă
Limba română,
10 ani în urmă
Matematică,
10 ani în urmă
Matematică,
10 ani în urmă
Limba română,
10 ani în urmă
Limba română,
10 ani în urmă