Question

1. Fie T>0.Dati exemplu de o functie f:R->R care sa admita perioada principala T.
2. Aratati ca orice functie periodica si monotona f:R->R este constanta.
3. Aratati ca, daca o functie f:R->R are proprietatea R\Q inclus in Pf , atunci este constanta.
4. Aratati ca, daca graficul unei functii f:R->R are doua axe de simetrie, atunci f este periodica.

Answer 1

1.
[tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\sin\frac{2\pi x}{T}\\ f(x+T)=f(x)=\sin\frac{2\pi (x+T)}{T}=f(x)=\sin\frac{2\pi x+2\pi T}{T}=\\ \sin(\frac{2\pi x}{T}+2\pi)=\sin\frac{2\pi x}{T}=f(x)[/tex]

2.
Vom presupune ca functia este monoton crescatoare pe R. Cazul in care functia este descrescatoare se trateaza analog.
PP RA ca functia f nu este constanta:
[tex]\exists\ x_1,x_2\in\mathbb{R},\ x_1\ \textless \ x_2\ a.i. \ f(x_1)\ \textless \ f(x_2)\\ \text{Luam } n=[\frac{x_2-x_1}{T}]+1,\text{unde $T$ este perioada functiei $f$.} \\\Rightarrow x_1+nt\ \textgreater \ x_2\Rightarrow f(x_1+nt)\ \textgreater \ f(x_2)\Rightarrow f(x_1)\ \textgreater \ f(x_2)\text{ (Fals) }[/tex]
Deci presupunerea ca functia f nu este constanta este falsa. Conchidem ca functia f este constanta.

4. [tex]d:x=a\text{ axa de simetrie a functiei $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$}\Leftrightarrow\\ f(2a-x)=f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}\\ Fc ~f~admite~doua~axe~de~simetrie~daca\\ \exists\ a,a'\in\mathbb{R}\ (distincte,~putem~pp~a\ \textless \ a')~ a.i: \\f(2a-x)=f(x)\\si\\f(2a'-x)=f(x)\\ \Rightarrow f(2a-x)=f(2a'-x),\ \forall x\in \mathbb{R} \\x\rightarrow 2a-x\\ f(2a-(2a-x))=f(2a'-(2a-x))\\ f(x)=f(2(a'-a)+x),\forall x\in\mathbb{R} \\ Luam~ T=2(a'-a)\ \textgreater \ 0 [/tex]