Question

1. Fie triunghiul ABD cu BD = 5 cm, m(D) = 90°, m(A) = 30°. Se prelungește segmentul BD dincolo de D cu un segment (CD) = (DB). Specificați natura triunghiului ABC​

Answer 1

Salut!

Cand o problema de geometrie iti cera sa specifici natura unui triunghi, trebuie sa verifici doua lucruri:

1. Este ascutitunghic/dreptunghic/obtuzunghic?
2. Este isoscel/echilateral?

Daca nu se potriveste cu nici una din caracterizarile precizate anterior, triunghiul este oarecare.

Pentru inceput, observam ceva esential: problema ne da lungimea unei catete si un unghi de 30 de grade intr-un triunghi dreptunghic. Folosind aceste informatii, putem aplica sinus de 30 de grade in triunghiul ΔABD.

$\Rightarrow sin30 = \frac12 ; sin = \frac{\text{cateta opusa}}{\text{ipotenuza}} \Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac12 \Rightarrow \frac5{AB}=\frac12 \Rightarrow AB =10cm$

Acum ca stim lungimea ipotenuzei AB, putem folosi Teorema lui Pitagora pentru a deduce cateta AD:

$\begin{aligned}AD^2+BD^2=&AB^2\\AD^2+5^2=&10^2\\AD^2=&75\\AD=&5\sqrt3 \ \text{cm}\end{aligned}$

Din moment ce stim AD si DB, putem sa ne mutam in triunghiul ADC, care este dreptunghic in unghiul ∡D de 90 de grade pentru a afla lungimea ipotenuzei AC ca sa verificam daca triunghiul este isoscel.

$\begin{aligned}AD^2 + 2BD^2=&AC^2\\(5\sqrt3)^2+10^2=&AC^2\\75+100=&AC^2\\175=&AC^2\\5\sqrt7 \ \text{cm}=&AC\end{aligned}$

Din moment ce laturile nu sunt egale intre ele, constatam ca ABC este un triunghi obtuzunghic, deoarece unghiul ∡DBC are 180 de grade, iar pentru a afla unghiul ∡ABC scadem masura unghiului ∡ABD de 60 de grade, obtinand 120 de grade.

-Luke48