Question

1. Figura 1 reprezintă un triunghi echilateral ABC cu
lungimea laturii de 8 cm și M mijlocul laturii [BC].
a) Să se calculeze aria triunghiului ABC.
b) Să se calculeze distanța de la punctul M la latura [AC].
c) Să se arate că suma distanțelor de la orice punct
interior triunghiului ABC la laturile acestuia este mai
mică de 7 cm (cunoaștem că 1,73 < V3 <1,74).

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

AB=AC=BC=8cm. BM=MC=4cm.

a) Aria(ABC)=AB²√3/4=8²√3/4=64√3/4=16√3 cm².

b) AM⊥BC, După crit. CC (catetă, catetă) ⇒ΔABM≡ΔACM. Atunci Aria(ΔACM)=(1/2)·Aria(ΔABC)=(1/2)·16√3= 8√3 cm².

Din alt mod, Aria(ΔACM)=(1/2)·AC·h, unde h este d(M,AC).

Deci, (1/2)·8·h=8√3, ⇒4·h=8√3, ⇒h=2√3 cm = d(M,AC).

c) Fie  N∈Int(ΔABC), atunci Aria(ΔABN)+Aria(ΔBCN)+Aria(ΔACN)=Aria(ΔABC), ⇒

(1/2)·AB·h1 + (1/2)·BC·h2 + (1/2)·AC·h3=16√3  |·2

AB·(h1+h2+h3)=32√3, ⇒ h1+h2+h3=(32√3):AB=(32√3):8=4√3

Deci, h1+h2+h3=4√3 cm.

1,73 < √3 < 1,74  |·4

4·1,73 < 4·√3 < 4·1,74  ⇒ 6,92 < 4√3 < 6,96

Deci h1+h2+h3 < 7.

p.s. h1=d(N,AB), h2=d(N,BC), h3=d(N,AC).