Question

1) gasiti perimetrul dreptunghiurilor care au aria 147 mp si latimea este un divizor al lungimii;
2)fie numerele A=6a+7b+8c si B=5a+3b+c; a,b,c naturale. Aratati ca A este divizibil cu 17 daca B este divizibil cu 17 si B este divizibil cu 17 daca A este divizibil cu 17.

Answer 1

1) am sa notez lungimea cu L si latimea cu l
deoarece l este un divizor al lui L
inseamna ca
l*x=L
aria este l*L=147
inlocuiesc pe L cu l*x
si rezulta
x*l^2=147
deoarece x este un numar intreg (deoarece x este divizor al lui L)
si de asemenea l este nr intreg, deoarece este divizor al lui L, deci l^2 este patrat perfect

singurele patrate perfecte care inmultite cu un nr natural dau 147 sunt
1*147=147
deci l=1 si L=1*147
P=2*1+2*147=2+294=296

49*3=147
l=7 si L=7*3=21
P=14+42=56

2)A=6a+7b+8c
B=5a+3b+c

diferenta dintre a si b este a+4b+7c
pentru ca A sa fie div cu 17 cand B este div cu 17 si invers, trebuie sa arat ca daca unul din A sau B este div cu 17 atunci si diferenta lor este div cu 17

pentru a arata aceasta, am sa consider ca A este divizibil cu 17,
dupa am sa inmultesc diferenta cu 11
11D=11a+44b+77c (D=diferenta)
deoarece stim ca A este div cu 17, trebuie sa aratam ca D este div cu 17
de asemenea daca 11D este divizibil cu 17, am demonstrat si ca D este div cu 17, deoarece 11 si 17 sunt prime intre ele.

pentru a demonstra ca 11D este div cu 17, am sa adun A+11D, a fiind deja div cu 17, daca A+11D este div cu 17 rezulta ca 11D este div cu 17

A+11D=6a+7b+8c+11(a+4b+7c)
A+11D=6a+7b+8c+11a+44b+77c
A+11D=17a+51b+85c
A+11D=17(a+3b+5c)

Ceea ce inseamna ca A+11D este div cu 17, deoarece stim ca A este div cu 177, rezulta ca si 11D este div cu 17, deci D este div cu 17

Asta inseamna ca oricum am lua, ori a, ori b divizibil cu 17, rezulta automat ca si celalalt este divizibil cu 17, deoarece diferenta lor este divizibila cu 17