Question

1 -> a) si b) detaliat ?

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Pct a)

Folosim formulele:

$ln1=0$

$lne=1$

$lne^a=alne=a$

Calculam $f(1)$. Inlocuim $x$ cu $1$ in forma functiei f si avem:

$f(1)=\frac{1+ln1}{1-ln1}=\frac{1+0}{1+0}=1$

Calculam $f(e^2)$. Inlocuim $x$ cu $e^2$ in forma functiei f si avem:

$f(e^2)=\frac{1+lne^2}{1-lne^2}=\frac{1+2lne}{1-2lne}=\frac{1+2}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3$

Sumam cele doua rezultate:

$f(1)+f(e^2)=1+(-3)=1-3=-2$

Pct b)

Calculam f'. Folosim formulele:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

$[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$

$1'=0$

$(lnx)'=\frac{1}{x}$

$f'(x)=(\frac{1+lnx}{1-lnx})'=$ $\frac{(1+lnx)'*(1-lnx)-(1+lnx)*(1-lnx)'}{(1-lnx)^2}=$ $\frac{\frac{1}{x}(1-lnx)-(1+lnx)*(-\frac{1}{x})}{(1-lnx)^2}=$ $\frac{\frac{1}{x}(1-lnx)+(1+lnx)*\frac{1}{x}}{(1-lnx)^2}=$ $\frac{\frac{1}{x}(1-lnx+1+lnx)}{(1-lnx)^2}=$ $\frac{\frac{2}{x}}{(1-lnx)^2}=\frac{2}{x(1-lnx)^2}$

Pct c)

Fie $y=a$ asimptota orizontala la $\infty$.

Folosim regula lui l'Hopital: In cazul nedeterminarilor $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$, valorea limitei raportului f(x) pe g(x) este egal cu valoarea raportului limitei f'(x) pe g'(x).

$a=\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1+lnx}{1-lnx}=Suntem~in~cazul~\frac{\infty}{\infty}~si~aplicam~l'Hopital=\lim_{x \to \infty} \frac{(1+lnx)'}{(1-lnx)'}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}*\frac{x}{-1}=-1$

Cum a este numar real, atunci avem asimptota orizontala la infinit.

Deci,  $y=-1$ asimptota orizontala la $\infty$.

Daca avem asimptota orizontala, atunci asimptota oblica nu exista.