Question

1. Identificând un factor comun, în fiecare sumă, calculați:
1 Model:
3+6+9+...+66
3(1+2+3+...+22)=3ori(22ori 23):2=759
b) 10+20+30+...+1230=
c) 7+14+21+...315=

2. În câte zerouri se termină produsul primelor 25 de numere naturale al căror produs este 24?

3. Determinați numărul natural x din egalitatea:
x+99=99+99+99+...+99
știind că în partea dreaptă a semnului egal sunt 99 de termeni egali.

4. Ce număr urmează în fiecare dintre însușirile următoare:
a) 11⇒22⇒44⇒...
b) 2⇒8⇒32⇒256⇒...

5. Calculați suma resturilor posibile ale împărțirii unui număr natural la 9.

6. Arătați că numărul 9ori(5+10+15+...+200):41 este pătrat perfect.

7. Aflați în fiecare caz, numerele la care se împart cu rest zero simultan:
a) 8 și 12;
b) 15 și 21;
c) 30 și 42.

8. Determinați toate numerele naturale care împărțite la 6 dau câtul 13.
Soluție. Dacă împărțim un număr natural la 6, restul poate să fie unul dintre 0, 1, 2, 3, 4 sau 5.

9. Aflați numerele naturale care împărțite la 9 dau câtul și restul dau numere naturale  consecutive (câtul mai mic decât restul).

10. Împărțiți suma primelor zece numere naturale pare la suma primelor zece numere nenule.

Answer 1

1.
3+6+9+...+66=3(1+2+3+...+22)=3*(22* 23):2=759
b) 10+20+30+...+1230=10*(1+2+3+..123)=10*123*124:2=10*7626=76260
c) 7+14+21+...315=7(1+2+3+...45)=7*45*46:2=7*1035=7245

2. În câte zerouri se termină produsul primelor 25 de numere naturale al căror produs este 24?
1*2*...*5*...10*..12*..*15*...*20*...*22*...*24*25
In produsul primelor 25 de numere identificam:
2*5=10,
10
12*15=180
20
24*25=600
=> produsul primelor 25 de numere naturale se termina in 5 zerouri.

La intrebarea :
Care este cea mai mare valoare posibilă a sumei a două numere naturale al căror produs este 24?
Rezolvarea este:
2x12=24
24x1=24
3x8=24
6x4=24
deci valoare maxima este de 25 (24+1)

3.
x+99=99+99+99+99..+99=99*99
x=99*99-99=99*(99-1)=99*98
x=9702


4. Ce număr urmează în fiecare dintre însușirile următoare:
a) 11⇒22⇒44⇒88 ( algoritmul fiind numarul anterior*2)
b) 2⇒4⇒8⇒32⇒256⇒8192 ( algoritmul fiind 2¹=>2²=>2¹⁺²=>2²⁺³=>2³⁺⁵=.2⁵⁺⁸)

5.
D:I=C     }dar R<I => R<9
D:9=C       
Resturile posibile sunt 0,1,2,3,4,5,6,7,8
S=1+2+3+4+5+6+7+8=36

6.
9*(5+10+15+...+200):41 =9*5*(1+2+...+40):41=9*5*40*41:2:41=9*5*20=900=30²

7. Cautam un divizor comul pentru fiecare pereche:
a) 8 și 12-> divizori comuni: 2 , 4, 1
b) 15 și 21-> divizori comuni: 3,1
c) 30 și 42. -> divizori comuni: 1,2,3,6

8.
Dacă împărțim un număr natural la 6, restul poate să fie unul dintre 0, 1, 2, 3, 4 sau 5.
Deci numerele sunt 13*6+0, 13*6+1, 13*6+2, 16*6+3, 13*6+4, 13*6+5, adica:
78,79,80,81,82,83

9. Aflați numerele naturale care împărțite la 9 dau câtul și restul dau numere naturale  consecutive (câtul mai mic decât restul).
Notam numarul cautat cu a
a:9= c, rest c+1
=> a=9c+c +1=10c+1
r<9=> c<8
Deci pentru :
c=0, a= 1
c=1, a=11
c=2, a=21
c=3, a=31
c=4, a=41,
c=5, a=51,
c=6, a=61,
c=7, a=71
=> numerele cautate sunt 1,11,21,31,41,51,61,71.

10.
(2+4+6+...+20):(1+2+3+...+10)= 2*(1+2+3+...+10)*(1+2+3+...+10)= 2*1=2