Question

1. în cercul C(0,8cm) se înscrie triunghiul dreptunghic ABC, cu AB = 8 cm și <A = 90°.
a Calculați aria triunghiului ABC.
b Calculați lungimea medianei BM, ME AC.
c Calculați aria porțiunii de disc cuprinse între latura AB și cerc.

2. Într-un trapez dreptunghic ABCD, <A = <D = 90°, AB < CD, se cunosc AB = 9cm, CD = 12 cm și AD = 4cm.
a Calculați perimetrul trapezului ABCD
b Calculați aria triunghiului ADC
c Aflați distanta de la B la AC

DAU COROANA​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Ex1. Cerc C(O,8cm), ΔABC, ∡A=90°, AB=8cm.  Triunghiul dreptunghic, înscris în cerc are ipotenuza BC =diametru, deci, BC=2·R=2·8=16cm.

Din ΔABC, după Pitagora, ⇒ AC²=BC²-AB²=16²-8²=8²·2²-8²·1=8²·(2²-1), deci AC=8√3 cm.

Atunci Aria(ΔABC)=(1/2)·AB·AC=(1/2)·8·8√3=32√3cm².

b) BM mediană, ⇒AM=CM=(1/2)·AC=(1/2)·8√3=4√3cm

Din ΔABM, ⇒BM²=AB²+AM²=8²+(4√3)²=4²·2²+4²·3=4²·(2²+3)=4²·7.

Deci, BM=4√7 cm.

c) AB=OB=8cmAO, ⇒ΔAOB  echilateral . ∡AOB=60°, dar 60°=(1/6)·360°. ⇒ Aria sectorului de disc AOB = (1/6)·Aria(disc)=(1/6)·π·R²=(1/6)·π·8²=(1/6)·64π cm²=32π/3 cm².

Aria porțiunii de disc cuprinse între latura AB și cerc = Aria(sectorAOB)-Aria(ΔAOB).

Aria(ΔAOB)=AB²·√3/4=8²·√3/4=16√3 cm². Atunci,

Aria porțiunii de disc cuprinse între latura AB și cerc =32π/3 cm²-16√3 cm²=16·(2π/3 -√3)cm²

Ex2.  Trasăm BE⊥CD, ⇒AB=ED=9, CE=3. BE=AD=4. Din ΔBCE, după Pitagora, ⇒BC=5cm

a) P(ABCD)=9+5+12+4=30cm

b) Aria(ΔADC)=(1/2)·AD·CD=(1/2)·4·12=24cm².

c) Fie d(B,AC)=BM, M∈AC, BM⊥AC.

Aria(ABCD)=(AB+CD)·AD/2=(9+12)·4/2=42cm²

Aria(ABC)=Aria(ABCD)-Aria(ACD)=42-24=18cm²

Dar Aria(ABC)=(1/2)·AC·BM

Din ΔACD, AC²=AD²+CD²=4²+12²=4²+4²·3²=4²·(1+3²)=4²·10

Deci, AC=4√10cm. Atunci Aria(ABC)=(1/2)·4√10·BM=2√10·BM.

Deci, 2√10·BM=18, ⇒BM=9/√10=9√10/10=0,9√10cm=d(B,AC).