Question

1.In trapezul isoscel ABCD, AB ll CD, m (<C) = 60⁰, se cunosc BC = 12√2 cm si AB = 6√2 cm.Calculati : a)lungimea bazel mari [CD]  b)lungimile diagonalelor trapezului, [AC] si [BD]  c)distanta de la punctul D la dreapta AC   2.Fie ABCD un trapez isoscel, cu AB ll CD si cu diagonalele perpendiculare.Stiind ca AB = 12 cm, iar CD = 28 cm, calculati: a)aria trapezului   b)perimetrul trapezului   c)lungimea diagonalei [AC]   3.Trapezul dreptunghic ABCD, m (<A) = m(<D) = 90⁰, AB ll CD, are AB = 18 cm, iar MN linie mijlocie (M € (AD) si N € (BC)).Calculati: a)aria trapezului    b)lungimile segmentelor [MC] si [MB]   4.Triunghiul dreptunghic ABC, m(<A) = 90⁰, are cateta AB = 24√3 cm, iar unghiul dintre inaltimwa si mediana corespunzatoare are masura de 30⁰.Daca AB < AC, calculati: a)perimetrul triunghiului b)aria triunghiului

Answer 1

1) a) ducand inaltimile AM si BN  (M,N∈DC) se obtin Δ dreptunghice AMD si BNC
daca - <BCN=60 atunci <CBN=30, deci cateta opusa lui e jumatate din ipotenuza:
   NC=BC/2=12√2/2=6√2

la fel, avem DM=AD/2=12√2/2=6√2
DC=DM+NC+MN=3*6√2=18√2
(MN=AB=6√2)
b)  pitagora in ΔBNC:  BC²=BN²+CN²          BN²=(12√2)²-(6√2)²=216=2² * 3² * 6, deci BN=6√6
Pitagora in ΔBND>:  BD²=BN²+DN²    
BD²=216+(DM+MN)²=216+(6√2+6√2)²=216+288=504=2² * 3² * 2 * 7
BD=6√14  BD=AC (diagonalele in trapez isoscel sunt egale)
c)  DX e perpendiculara pe AC
in ΔAXD:  AD²=AX²+DX²     DX²=(12√2)²-AX²=288-AX²     - rel.1
in ΔDXC: DC²=DX²+XC²=DX²+(AC-AX)²=DX²+AC²-2*AC*AX+AX², 
  deci DX²=DC²-AC²+2*AC*AX-AX²=(18√2)²-(6√14)²+2*6√14*AX-AX²=
=648-505+12√14*AX-AX²=144+12√14*AX-AX²    - rel.2

din rel. 1 si 2:    288-AX²=144+12√14*AX-AX²       144=12√14*AX    AX=12/√14=6√14/7
DX²=288-(6√14/7)²=288-504/49=13608/49=(2² * 3² * 3² * 2*3*7)/49    DX=18√42/7

2) a) intr-un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, inaltimea trapezului h=(b+B)/2=(12+28)/2=20
aria trapezului:  (b+B)*h/2=(12+28)*20/2=400
b) perimetrul trapezului: AB+BC+DC+AD=12+2*AD+28=40+2*AD
daca AH e inaltimea trapezului (H∈DC), AH=h=20, avem AD²=AH²+DH²
conform problemei anter. DH=(DC-AB)/2  - in trapezul isoscel inaltimile formeaza un dreptunghi
deci, DH=(28-12)/2=8      AD²=20²+8²=2² * 2² * 29    AD=4√29
PERIMETRUL=40+2*4√29=40+8√29
c)  AC²=AH²+HC²,  si  HC=DC-DH=28-8=20, deci  AC²=20²+20²,  AC=20√2

IMI CER SCUZE, NU MAI AM TIMP SA STAU SA REZOLV 3 SI 4