Question

1. In triunghiul ABC, punctul M ∈(BC),astfel incat [AM este bisectoarea <BAC,iar m(<BMA)=90gr
Aratati ca Δ ABC este isoscel.

2. In exteriorul Δ isoscel cu m(<M)=90gr,se construiesc Δ echilaterale ΔMNQ si ΔMPR.Sa se demonstreze:
a) ΔMRQ este  isoscel
b) <QMP=<RMN
c) [QP] ≡ [NR].

Answer 1

1. (0) Pornim de la "in triunghiul isoscel bisectoarea din varf coincide cu inaltimea => daca inaltimea coincide cu bisectoarea atunci triunghiul este isoscel"

(1) m(<BMA)=90gr => MA (sau AM) este inaltime!
(2) AM este bisectoare

din (0),(1),(2) => BAC isoscel (AB=AC)

===============================================
2.a)
(1) MN = MP (tr.MNP isoscel)
(2) MN=QM (tr.QMB echilateral)
(3) MR=MP (tr.MPR echilateral)
din (1),(2),(3) => MR=QM => QMR tr.isoscel

2.b)
(4) m(<QMP) = m(<QMN) + m(<NMP)
(5) m(<RMN) = m(<RMP) + m(<NMP)
(6) m(<QMN) = 60gr (tr.QMN echilateral)
(7) m(<RMP) = 60gr (tr.RMP echilateral)

din (4),(5),(6),(7) => (8) m(<QMP) = m(<RMN) = 60gr+90gr = 150gr

2.c) folosim cazul LUL (latura-unghi-latura) de congruenta al triunghiurilor
(9) QM = MN (tr.QMN echilateral)
(10) MP = MR (tr.MPR echilateral)
(8) (s-a demonstrat la 2.b !) m(<QMP) = m(<RMN)
din (9),(10),(8) => tr.QMP e congruent cu tr.NMR => QP =  NR