1. În triunghiul dreptunghic ABC, cu KA = 90° şi «C 2KB, punctul D este mijlocul ipotenuzei BC. Mediatoarea laturii BC intersectează latura AB în punctul E, iar punctul F este mijlocul segmentului BE. Arătaţi că: a) ADEF este echilateral; b) CE = AF; c) FD || CE.
M-ati putea ajuta va rog eu mult!
Răspunsuri la întrebare
Daca ∡A=90°, iar ∡C=2∡B, inseamna ca ∡C=60°, iar ∡B=30°.
Intr-un triunghi dreptunghic, cateta care se opune unghiului de 30° este jumatate din ipotenuza.
Intr-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din ipotenuza.
a) DE este mediatoarea lui BC, deci ∡EDB=90° si CD=BD.
In triunghiul DEF avem unghiul D de 90° si unghiul B de 30°, inseamna ca DE=BE/2.
F este mijlocul lui BE, inseamna ca DF este mediana, iar BE este ipotenuza triunghiului DEF, deci DF=BE/2.
F fiind mijlocul lui BE, evident EF=BE/2.
Deci DE=DF=EF, adica triunghiul DEF este echilateral.
b) Cateta AC se opune unghiului B de 30°, deci AC=BC/2=CD.
CE este latura comuna triunghiurilor ACE si DCE, iar aceste doua triunghiuri sunt dreptunghice. Conform cazului cateta ipotenuza, cele doua triunghiuri sunt congruente. Inseamna ca
∡ACE=∡DCE=∡C/2=60°/2=30°, deci AE=DE=CE/2 (pentru ca sunt catete care se opun unor unghiuri de 30°, iar ipotenuza este aceeasi, CE)
Stim ca DE=EF, deci si EF=CE/2.
AF=AE+EF=CE/2+CE/2=2CE/2=CE
Deci AF=CE
c) Am aratat ce ∡DCE=30°. Inseamna ca ∡CED=90°-30°=60°.
Dar stim ca triunghiul DEF este echilateral, deci ∡EDF=60°.
Avem secanta DE si unghiurile ∡CED=∡EDF care sunt alterne interne, deci FD || CE