Question

1.Intr-o clasa sunt 30 de elevi. Știind ca Ștefan a făcut 12 greșeli, iar ceilalți au făcut fiecare mai puține greșeli decât el, sa se arate ca exista 3 elevi cu același număr de greșeli.
2.In 500 de cutii se afla bile. Se știe ca în fiecare cutie se afla cel mult 240 de bile. Demonstrați ca exista cel puțin 3 cutii ce contin același număr de bile.​

Answer 1

Răspuns:

de fapt, exista cel putin 5 cutii

Explicație pas cu pas:

presupunem ca ar fi numere diferitede greseli

aplicam Principiul Cutiei (al lui Dirichlet)

facem 12 cutii pe care scriem nr de greseli 11;10;9...1;0

29 copii care au cate

11,10....2;1  0 greseli......12 copii cae pun subiectele in 12 cutii

11,10....2;1 0 greseli......12 copii (s-au facut 24 copii) care pun swubiectele tot in cutiile 11,10...0

deci in fiecare cutie exista cate 2 subiecte cu ac nr de greseli

deci inca 30-1(Stefan) -24 copii= 29-24=5 copii care ttrebuie sa isi puna lucrarile in cutiile existente

deci exista cel putin 5 cutii cu cate 3 subiecte, deci exista si 3 cutii

2.

de fapt avem cel putin 20 astfel de cutii

presupunem prin absurd ca numerele ar fi diferite

atunci in primele 240 cututii avem 1;2...240 bile

sin urmatoarele 240 avem 1,.2....240 binle..deci avem 240 cutii cu ac nr de bile

mai raman 500-240-240=20 de cutii incare trebuie sa punem unul din numerele 1,2...240 deci as repetam a treia oata 20 de numere

deci avem cel putin 20de cutii

cum 3<20 avem si 3 cutii