Question

1.Intr-un sac sunt bile rosii,negre si albastru, in total 100. Numarul bilelor negre reprezinta$\frac{1}{6}$ din numarul bilelor rosii, iar numarul bilelor albastre este$\frac{2}{5}$ din totalul bilelor. Cate bile trebuie sa scoatem din sac, fara a privi, pentru a fi siguri ca avem una din fiecare culoare?
2.A={x;x=$2^{n} + 3^{n+1} + 5^{n+2} + 7^{n+3}$;x∈N}
B={x;x∈$k^{2}$;k∈N}
Determinati card(A intersectat cu B)

Answer 1

1) Cred că e ceva greșit în enunț.
Numărul bilelor albastre este $\displaystyle\frac{2}{5}\cdot 100=40$
Deci restul de 60 sunt roșii și negre.
Dacă notăm cu x numărul de bile roșii, atunci cele negre sunt $\frac{x}{6}$
Atunci $x+\frac{x}{6}=60\Rightarrow 7x=360$ și ecuația nu are soluții naturale.

2) Trebuie văzut câte pătrate perfecte sunt în mulțimea A
Mai întâi, dacă n=0 atunci x=372 care nu e pătrat perfect.
Pentru $n\ge 1$ ne folosim de ultima cifră a puterilor .
Ultima cifră a lui $2^n$         2  4  8  6
Ultima cifră a lui $3^{n+1}$    9  7  1  3
Ultima cifră a lui $5^{n+2}$    5  5  5  5
Ultima cifră a lui $7^{n+3}$    1  7  9  3
Ultima cifră a lui x            7  3  3  7
Deci mulțimea A nu conține niciun pătrat perfect.
Rezultă $A\cap B=\varnothing$