1. La o florărie sunt 122 de garoafe albe, 144 garoafe roșii și 116 galbene. Se fac aranjamente florale care au în componență cele trei culori de garoafe și același număr de garoafe de fiecare tip. Aflați care este cel mai mare număr de aranjamente florale realizat știind că au rămas 2 garoafe albe, 4 roșii și una galbenă.
2. Aratati ca fractia 5a + 3 supra 7a + 4 este ireductibila pentru orice nr. natural a.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Garoafe albe folosite 122 - 2 = 120
Garoafe rosii folosite 144 - 4 = 140
Garoafe galbene folosite 116 - 1 = 115
Trebuie sa cautam cel mai mare divizor comun pentru 120, 140 si 115
120 = 2^3*3*5
140 = 2^2*5*7
115 = 23*5
cmmdc = 5
Se fac 5 aranjamente
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Ex2. Presupunem, prin reducere la absurd, că fracția (5a+3)/(7a+4) este reductibilă, adică cmmdc(5a+3, 7a+4)=d, unde d∈N și d≠1. Atunci d|(5a+3) și d|(7a+4), deci d va divide și multiplii lor. Alegem multiplii convenabil astfel ca la scădere să dispară a-ul, deci d|(5a+3)·7 și d|(7a+4)·5, atunci
d|(35a+21) și d|(35a+21). Dacă d divide numerele 35a+21 și 35a+20, atunci d divide și diferența lor, deci d|(35a+21-35a-20), ⇒ d|1. Deci contrazice ipoteza unde d≠1. Rezultă că presupunerea făcută este falsă, deci fracția dată este ireductibilă.
Ex1. 122-2=120 ga, 144-4=140gr, 116-1=115gg.
140=2³·3·5; 140=2²·5·7; 115=5·23, deci cmmdc(120,140,115)=5.
Deci, 5 aranjamente cu conținutul unui aranjament (24ga,28gr,23gg) cu condiția că în fiecare aranjare să fie același numări de flori de același tip și aranjarea să conțină toate 3 culori.
Se poate forma cmmdc(120,140)=20, deci 20 de aranjamente cu conținutul uneia (6ga,7gr), iar 115 garoafe galbene se pot distribui câte 6 la 15 aranjamente și câte 5 la 5 aranjamente, obținând astfel număr maxim de aranjamente florale.