Question

1)Latura unui triunghi echilateral este de 6 cm . Sa se afle aria triunghiului si raza cercului circumscris .
2)sa se determine aria unui paralelogram stiind ca una dintre laturile sale este de 51 cm, iar diagonalele sale sunt de 40si74 cm

Answer 1

1) Aflăm aria triunghiului cu formula lui Heron:

[tex]\it \mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\\;\\ p = \dfrac{a+b+c}{2} =\dfrac{6+6+6}{2} = \dfrac{18}{2} =9 \\\;\\ p-a=p-b=p-c =9-6=3 [/tex]

$\it \mathcal{A} = \sqrt{9\cdot3\cdot3\cdot3} =\sqrt{9\cdot9\cdot3} = 3\cdot3\sqrt3=9\sqrt3\ cm^2$

$\it R = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\ell\sqrt3}{2} = \dfrac{6\sqrt3}{2} =3\sqrt3\ cm$ 

2)

Considerăm cunoscută latura AB = 51 cm.

Fie {O} =AC ∩ BD. 

Deoarece diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, vom izola

triunghiul OAB, cu laturile 20cm, 37cm, 51cm 

Aplicăm formula lui Heron pentru determinarea ariei acestui triunghi.

p= (20+37+51)/2  =108/2=54

p - AB =  54-51 = 3

p - OB =  54-37 = 17

p - OA =  54- 20 = 34

Aria(OAB) = √(54·3·17·34)= √(9·6·3·17·17·2)=√(3²·6²·17²) =

= 3·6·17 = 306 cm²

Aria(ABCD) =4·Aria(OAB) = 4·306 = 1224 cm²

Observație:

O altă cale ar fi să determinăm înălțimea triunghiului OAB, 
 
corespunzătoare laturii AB.
 
Interesant este că lucrăm cu numere naturale, în sensul că proiecțiile laturilor

AO și OB pe AB  vor fi 16cm și respectiv 35 cm.

 Înălțimea căutată va avea lungimea egală cu 12cm.