Question

1. lx+1l = 2lxl

2. 3x^2-5x+2<=0

Answer 1

1) Modulul unui numar |x| este definit asa
|x|=-x daca x<0
|x|=x daca x>=0
0 se numeste un prag, pentru ca schimba semnul lui x cand treci de el.
Acest prag se muleaza pe ecuatia din modul. De exemplu, daca am avea |x+5| atunci
|x+5|=-(x+5) pentru x+5<0
|x+5|=x+5 daca x+5>0
si observi ca acum de fapt compari pe x cu -5, si -5 este pragul de schimbare a semnului

In cazul tau, observi ca sunt 2 praguri
Pragul 1) x<-1. In acest caz x+1<0 atunci |x+1|=-(x+1). De asemenea |x|=-x(x e mai mic decat -1, deci e mai mic si decat 0)
avem atunci
$-(x+1)=-(2x)\Rightarrow -x-1=-2x\Rightarrow -x=-1\Rightarrow x=1$
Pragul 2) x>-1 dar x<0. Atunci x+1>0 si |x+1|=x+1, dar x<0 deci |x|=-x
Atunci $x+1=-2x\Rightarrow -3x=1\Rightarrow x-=\frac{1}{3}$
Prag 3) x>0, evident atunci x mai mare si decat -1 avem atunci |x+1|=x+1 si |x|=x
$x+1=2x\Rightarrow x=1$
Deci la final avem doua solutii: 1 si -1/3
2) $3x^{2}-5x+2=3x^{2}-3x-2x+2=3x(x-1)-2(x-1)=(3x-2)(x-1)<=0$
Observam ca si aici avem 3 cazuri
1) $3x-2<0\Rightarrow x<\frac{2}{3}<1$
In acest caz, si $x-1<0$ deci  avem 2 numere strict negative inmultite, care dau un nr pozitiv. Si pe noi ne interesa ca produsul sa fie negativ, deci asta nu e o solutie
2) $\frac{2}{3}\leq x\leq 1$
In acest caz avem
$0\leq x-\frac{2}{3}\Rightarrow 0\leq 3x-2$ adica primul termen al produsului este pozitiv
$x-1\leq 0$ Deci al doilea termen este fie 0 fie negativ
pozitiv*negativ=negativ, deci acesta este un interval bun ca solutie
3) Daca x>1, deci mai mare si decat 2/3, ambele paranteze sunt pozitive, si pe noi ne intereseaza un produs negativ, deci nu este o solutie.