Question

1) Pe R se defineste legea de compozitie x*y= $\sqrt[3]{x^3 + y^3} .$ .Aratati ca legea este asociativa.
2) Pe R se defineste legea de compozitie xoy = $2 ^{x+y} .$ .Rezolvati in R ecuatia $xox^2 = 64$.
3) Pe Z se defineste legea de compozitie xoy =ax+by-1,a,b ∈ R . Determinati a sib pentru care legea este asociativa .

Answer 1

1)  $(x_*y)_*z=(\sqrt[3]{x^3+y^3})_*z=\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^3+y^3})^3+z^3}=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$  (1)

$x_*(y_*z)=x_*(\sqrt[3]{y^3+z^3})=\sqrt[3]{x^3+(\sqrt[3]{y^3+z^3})^3}=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3},$  (2)

Din (1) și (2) rezultă că legea este asociativă.

Observație: Era suficient după ce ai calculat (1)  să spui că deoarece expresia (1) este invariantă la permutări circulare, legea este asociativă și nu mai calculai (2).

2)  $x\circ x^2=64\Rightarrow 2^{x+x^2}=2^6\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow x\in\{-3; 2\}$

3)  $(x\circ y)\circ z=(ax+by-1)\circ z=a(ax+by-1)+bz-1=$

$=a^2x+aby+bz-a-1$.

$x\circ (y\circ z)=x\circ(ay+bz-1)=ax+b(ay+bz-1)-1=$

$=ax+aby+b^2z-b-1$

Din egalarea coeficienților celor două rezultate se obțin următoarele egalități:

a²=a
ab=ab
b=b²
-a-1=-b-1

Din ultima egalitate avem a=b, iar din prima (ca și din a treia ) obținem a=0 sau a = 1.

Deci avem variantele:  a = b = 0
                                       a = b= 1