Question

1). Pe R se defineste legea de compozitie x*y=x+y+xy
a) Aratati ca (-1)*1=-1.
b) Aratati ca x*y=(x+y)(y+1)-1, (pentru oricare ar fi) x,y (apartin lui) R.
c) Rezolvati in multimea numerelelor reale ecuatia (x+1)*(x-3)=4

2). Pe R se defineste legea de compozitia asociativa data de x*y=x+y-2.
a) Calculati 5*(-5).
b) Aratati ca legea de compozitie “*” este comutativa.
c) Calculati (-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3

3). Pe R se defineste legea de compozitia asociativa data de x*y=x+y+3
a) Calculati 2*(-2).
b) Aratati ca e=-3 este element neutru al legii de compozitie “*”.
c) Determinati numarul real x pentru care 2013*(-2013)=x*x

Sunt destul de multi anisori de cand nu am mai lucrat astfel de teme ... :) MUltumesc pentru orice ajutor !!!

Answer 1

(-1) *1=-1+1+ (-1) *1= 0-1=-1
 b)  !! textul: Aratati ca x*y=(x+y)(y+1)-1, (pentru oricare ar fi) x,y (apartin lui) R." este GRESIT tastat sau copiat
TEXTUL CORECT  este
b) Aratati ca x*y=(x+1)(y+1)-1,  ∀(x,y)∈  R.

Rezolvare prin calcul direct
xy+x+y +1-1=xy+x+y=x*y relatia se verifica

(x+1)*(x-3)=4
Convine sa aplicam forma demonstrata la  cerinta b)
(x+1+1)(x-3+1)-1=4
(x+2) (x-2)=5
x²-4=5
x²=9
x= +-3


2.
a)5*(-5)-2=5+5-2=-2
b) y*x=y+x-2=x=y-2=x*y
c) aratam mai inyai ca legea este asociativa
(x*y)*z= (x+y-2)*z=x+y-2+z-2=x+y+z-4
x*(y*z)=x* (y+z-2)=x+y+z-2-2=x+y+z-4 deci legea este asociativa
atunci, legea fiind asociativa si comutativa
(-3)*(-2)*(-1) * (0)* 1*2*3= (-3)*(3)*(-2)*(2)* (-1)*(-1)* 0=(-2-2-2)*0= (-6)*0=-6+0-2=-8

3
a) 2* (-2) =2-2+3=3
b) aratam comutativitatea pt a face un singur calcul  la compunerea cu e
y*x=y+x+3=x+y+3=x*y
Stim ca elementul neutru, daca exista , este unic
\facem doar un calculde verificare pt "-3" propus de autorul problemei
x*(-3)=x-3+3=x deci DA, -3 este element neutru
Obs ; daca nu faceam comutativitatea ar fi trebuit sa verificam si (-3)*x
c) 2013* (-2013)=x*x
2013-2013+3=x+x+3
0+3=2x+3
0=2x
2x=0
x=0 solutie unica satisface si imdicatia din textul problemei " determinati NUMARUL real.....etrc"