Question

1)  Pe R se defineste legea  xoy=xy+4x+4y+12,(∀) x,y ∈ R.
Aratati ca (R,o) este monoid .
2) Fie G =(5;+∞) si legea x*y=xy-5x-5y+30,(∀) x,y ∈ G. Aratati ca G,*) grup abelian.
3)  xoy=2xy-6x-6y+21(∀) x,y ∈ R. sa fie G3 simetrizabil si G4 comutativ

Answer 1

1 .     xoy = ( x +4) · ( y +4) - 4      ( prima conditie legea = scrisa ca produs ) 
asociati:  ( x oy ) o z   = x o(yo z) 
           [ ( x +4)(y +4) - 4 ] oz = x o [ ( y +4)( z +4 ) - 4] 
           ⇒ ( x +4) ( y +4) ( z +4) -4 = ( x +4)(y +4) ( x +4) - 4  adev.
elem neutru xoe =x 
             ( x +4)( e +4) - 4 = x 
               ( x +4 ) ( e +4) = ( x +4) ·1          ; e +4 =1         ; e = -3 
                   ⇒  A ; E ⇒ (R , o)  monoid 
2    xoy = ( x -5) ( y -5) + 5 
A       ( xoy) o z = x o ( y oz) 
        ⇒ ( x -5)( y-5)( z -5) + 5 = ( x -5)(y -5) ( z -5) + 5
E         x oe = x 
              ( x - 5)( e- 5 ) + 5 = x 
             ( x -5)( e -5) = x + 5             ⇒  e - 5 =1   ; e = 6 
S       xox' =e 
       ( x -5) ( x' -5) + 5 = 6 
              ( x -5) ( x' - 5 ) = 1 
                 x ' - 5 = 1 / ( x -5) 
                x ' = 5 +  1 / ( x -5)    daca  x-5 ≠ 0    ; x≠5 
C xoy = yox         ⇒ ( G ; o) grup abelian 
3 .    xoy = 2( x -3) ( y -3)  + 3 
 la fel   xoe =x 
          ( x -3)( e - 3) + 3 = x          ;  ( x -3) ( e -3) = ( x -3) ·1
                               e -3 = 1            ; e = 4
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